Partialsummenfolge

[Incocnito]

Hallo,

ich soll den Wert von $\sum \limits_{k=1}^\infty \frac{1}{4k^{2}-1}$ berechnen (50/101), indem ich den Bruch in zwei Brüche aufteile und mir die Partialsummenfolgen angucke. Nur hab ich keinen Plan, was für Brüche. Hab $\sum \limits_{k=1}^\infty \frac{k+1}{4k^{2}-1} - \sum \limits_{k=1}^\infty \frac{k}{4k^{2}-1}$ überlegt oder einfach $\sum \limits_{k=1}^\infty \frac{2}{4k^{2}-1} - \sum \limits_{k=1}^\infty \frac{1}{4k^{2}-1}$ und hab dann versucht irgendwie den Index zu verschieben, damit man bei den Ergebnissen irgendwas rauskürzen kann, aber dieser blöde Nenne macht alles kaputt. Hat jemand eine bessere Idee?

[Jodocus]

Hallo!

Mach' eine Partialbruchzerlegung.

[Incocnito]

Keine schlechte Idee, aber sicher nicht das, was der Aufgabensteller im Sinn hatte (wir haben noch keine Partialbruchzerlegung behandelt). Oder könntest du das genauer ausführen?

[Jodocus]

Incocnito schrieb:

Keine schlechte Idee, aber sicher nicht das, was der Aufgabensteller im Sinn hatte (wir haben noch keine Partialbruchzerlegung behandelt). Oder könntest du das genauer ausführen?

Keine Ahnung, was dein Aufgabensteller im Sinn hat. Die PBZ gehört aber zum Standardrepertoire. Der Reihengrenzwert ist übrigens genau 1/2, zumindest nach meiner Rechnung.

Edit: Du kannst natürlich auch versuchen, die ersten paar Partialsummen auszurechnen, eine allgemeine Formel erraten und per Induktion beweisen. Danach berechnest du den Grenzwert der Partialsummen.