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C++ Forum :: Mathematik und Physik ::  Konvergenz einer Folge  
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brudah
Unregistrierter




Beitrag brudah Unregistrierter 22:53:59 07.01.2017   Titel:   Konvergenz einer Folge            Zitieren

Hallo, ich komme mit dieser Aufgabe nicht weiter: http://up.picr.de/27952649qo.jpg
Wer kann mir einen Tip geben?

Gruß
brudah
SG1
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Anmeldungsdatum: 19.03.2001
Beiträge: 3073
Beitrag SG1 Mitglied 00:00:42 08.01.2017   Titel:              Zitieren

Beweise, dass die Folge positiv und monoton fallend ist.
brudah
Unregistrierter




Beitrag brudah Unregistrierter 17:59:00 08.01.2017   Titel:              Zitieren

ja, rein logisch durch scharfes hinsehen kann man feststellen, dass die folgenglieder immer kleiner werden und positiv bleiben.
mein problem ist, dass a1 beliebig viele werte annehmen kann und dadurch auch das folgende glied a2, etc.
für a2 kann ich z.b. zeigen, dass es zwischen 0 und 3/8 liegt

§a_1\in(0,\frac{1}{2})\\
a_{2min}=\lim\limits_{a_1 \to 0}\left (a_1-\frac{1}{2}a_1^2 \right ) = \lim\limits_{n \to \infty }\left (\left( 0+\frac{1}{n} \right )-\frac{1}{2}\left( 0+\frac{1}{n} \right )^2 \right ) = 0 \\
a_{2max}=\lim\limits_{a_1 \to \frac{1}{2}}\left (a_1-\frac{1}{2}a_1^2 \right )= \\
\lim\limits_{n \to \infty}\left (\left (\frac{1}{2}-\frac{1}{n} \right )-\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{n} \right )^2 \right )= \\
\lim\limits_{n \to \infty}\left (\left (\frac{1}{2}-\frac{1}{n} \right )-\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{4}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \right )\right )= \\
\lim\limits_{n \to \infty}\left (\left (\frac{1}{2}-\frac{1}{n} \right )-\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{4}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \right )\right )= \frac{3}{8}\\§

also

§a_2\in(0,\frac{3}{8})§

für einen beweis ist das wohl zu wenig, wie schreibe ich das für alle möglichkeiten auf? :confused:
kenner der chill-potatoes
Unregistrierter




Beitrag kenner der chill-potatoes Unregistrierter 07:24:43 10.01.2017   Titel:              Zitieren

Versuch es in einem anderen, richtigen Matheforum, hier im Club der lahmen und altersschwachen Chill-Potatoes wirst du nicht viel Glück haben!
MfG
Jodocus
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Anmeldungsdatum: 06.12.2010
Beiträge: 1286
Beitrag Jodocus Mitglied 10:15:32 10.01.2017   Titel:              Zitieren

brudah schrieb:
für einen beweis ist das wohl zu wenig, wie schreibe ich das für alle möglichkeiten auf? :confused:
Es ist weder notwendig, noch weise, eine explizite Darstellung der §a_n§s zu suchen oder den Grenzwert berechnen. Höre auf SG1's Tipp, d.h. benutze das Lemma, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist. Zeige hierfür also, dass §a_{n+1}<a_n§ und §a_n>0§ §\forall n\ge 1§, dann bist du fertig. Nutze z.B. Induktion.

Edit: Blöder Fehler unterlaufen, war mit dem Kopf woanders. Wie aber floorball schon sagte (und wie ich es auch meinte), genügt ja auch die eine Implikation in die Hinrichtung.

_________________
Quak


Zuletzt bearbeitet von Jodocus am 09:59:49 11.01.2017, insgesamt 1-mal bearbeitet
zufallswert
Unregistrierter




Beitrag zufallswert Unregistrierter 20:37:27 10.01.2017   Titel:   .            Zitieren

Jodocus schrieb:
d.h. benutze das Lemma, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist.

Auf einen Beweis dieses Lemmas wäre ich gespannt.
floorball
Mitglied

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Anmeldungsdatum: 18.04.2012
Beiträge: 199
Beitrag floorball Mitglied 20:40:39 10.01.2017   Titel:   Re: .            Zitieren

zufallswert schrieb:
Jodocus schrieb:
d.h. benutze das Lemma, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist.

Auf einen Beweis dieses Lemmas wäre ich gespannt.

Dürfte relativ einfach aus dem Satz von Bolzano Weierstrass zu folgern sein.
Einbahnstraße
Unregistrierter




Beitrag Einbahnstraße Unregistrierter 22:29:25 10.01.2017   Titel:   Re: .            Zitieren

floorball schrieb:
zufallswert schrieb:
Jodocus schrieb:
d.h. benutze das Lemma, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist.

Auf einen Beweis dieses Lemmas wäre ich gespannt.

Dürfte relativ einfach aus dem Satz von Bolzano Weierstrass zu folgern sein.

Aber höchstens eine Richtung. Gegenbeispiel (-1)^n/n: Die Folge konvergiert, und ist zwar beschränkt, aber sicher nicht monoton.
floorball
Mitglied

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Anmeldungsdatum: 18.04.2012
Beiträge: 199
Beitrag floorball Mitglied 23:05:39 10.01.2017   Titel:   Re: .            Zitieren

Einbahnstraße schrieb:
floorball schrieb:
zufallswert schrieb:
Jodocus schrieb:
d.h. benutze das Lemma, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist.

Auf einen Beweis dieses Lemmas wäre ich gespannt.

Dürfte relativ einfach aus dem Satz von Bolzano Weierstrass zu folgern sein.

Aber höchstens eine Richtung. Gegenbeispiel (-1)^n/n: Die Folge konvergiert, und ist zwar beschränkt, aber sicher nicht monoton.

Da hast du natürlich recht. In diesem konkreten Beispiel reicht einem allerdings das monoton beschränkt ==> konvergiert.
brrudah
Unregistrierter




Beitrag brrudah Unregistrierter 11:22:26 11.01.2017   Titel:   Re: .            Zitieren

Danke für die Antworten!

zufallswert schrieb:
Jodocus schrieb:
d.h. benutze das Lemma, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist.

Auf einen Beweis dieses Lemmas wäre ich gespannt.


Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.
Diesen Beweis gibt es in der Tag.
MfG
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