A
asmodis schrieb:
Ist das der Laplacsche Entwicklungssatz?
∣A∣=∑j=1naij(−1)i+j∣Aij∣\left| A \right|= \sum_{j=1}^{n}{a_{ij}(-1)^{i+j}\left| A_{ij} \right|}∣A∣=∑j=1naij(−1)i+j∣Aij∣
Angenommen das ist der Laplac'sche Entwicklungssatz:
Es ist sinnvoll, erst durch Spaltenumformungen möglichst viele Nullen in eine Zeile zu bringen (je weniger Einträge einer Zeile \not=0 sind, desto weniger Determinanten muss man berechnen.)
\left|
\begin{array}{*{4}{c}}
4 & 1 & 4 & 2 \\
3 & 7 & 8 & 1 \\
5 & 0 & 2 & 3 \\
4 & 3 & 2 & 1 \\
\end{array}
\right|
=
\left|
\begin{array}{*{4}{c}}
0 & 1 & 0 & 0 \\
-25 & 7 & -20 & -13 \\
5 & 0 & 2 & 3 \\
-8 & 3 & -10 & -5 \\
\end{array}
\right|
Entwicklung nach der ersten Zeile:
\left|
\begin{array}{*{4}{c}}
0 & 1 & 0 & 0 \\
-25 & 7 & -20 & -13 \\
5 & 0 & 2 & 3 \\
-8 & 3 & -10 & -5 \\
\end{array}
\right|
=(-1)
\left|
\begin{array}{*{4}{c}}
-25 & -20 & -13 \\
5 & 2 & 3 \\
-8 & -10 & -5 \\
\end{array}
\right|
=(-1)
\left|
\begin{array}{*{4}{c}}
25 & 0 & 17 \\
5 & 2 & 3 \\
17 & 0 & 10 \\
\end{array}
\right|
=(-1)(2)
\left|
\begin{array}{*{4}{c}}
25 & 17 \\
17 & 10 \\
\end{array}
\right|
=(-1)(2)(250-289)=78
Beim zweiten Schritt hab ich nach einer Spalte entwickelt, weil es einfacher war dort Nullen hinzubekommen.
Diese Entwicklungen macht man in der Regel solange, bis man eine 2x2 Matrix hat, von der man die Determinante leicht über a11a22−a12a21a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}a11a22−a12a21 erhält.
Anmerkung: es ist nicht zwingend nötig, die Matrix so umzuformen, dass man nur ein Element in einer Zeile/Spalte stehen hat, es vermeidet nur, dass man viele Determinanten berechnen muss.
Anmerkung2: Die kleineren Determinanten erhält man durch Streichen der Zeile und Spalte in der das aktuelle Element (bei mir immer nur eins) steht.
Anmerkung3: Das aktuelle Element wir als Faktor vor die Determinante geschrieben, das Vorzeichen ergibt sich aus der Position des Elements.
Das Element aija_{ij}aij hat das Vorzeichen (−1)i+j(-1)^{i+j}(−1)i+j
Mit Spaltenumformungen meine ich übrigens das addieren des Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Spalte. Bei dieser Umformung Ändert sich die Determinante nicht.