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C++ Forum :: Mathematik und Physik ::  es gibt kein Polynom     Zeige alle Beiträge auf einer Seite Auf Beitrag antworten
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linalg
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Beitrag linalg Unregistrierter 06:50:22 15.06.2017   Titel:   es gibt kein Polynom            Zitieren

Warum gibt es kein Polynom §q(x) \in \mathbb{R}[x]§, so dass §\int_{-1}^1q(x)p(x)dx = p(0) \quad\forall p \in \mathbb{R}[x]§?
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Beitrag Fytch Mitglied 12:11:34 15.06.2017   Titel:              Zitieren

§\int_{-1}^1 x\cdot x^2 \mathrm{d} x = 0 = 0^2§

Hast du vielleicht eine Nebenbedingung bzgl. geraden/ungeraden Funktionen vergessen zu erwähnen?
linalg
Unregistrierter




Beitrag linalg Unregistrierter 12:48:06 15.06.2017   Titel:              Zitieren

Zunächst einmal sollte mein Thread nach Mathematik verschoben werden.

Die Identität soll für *alle* p \in IR[x] gelten.
linalg
Unregistrierter




Beitrag linalg Unregistrierter 13:09:55 15.06.2017   Titel:              Zitieren

Wenn man sich auf Polynome vom Grad <= n beschränkt, gibt es so ein eindeutiges q_n vom Grad <= n. Wenn man jetzt noch zeigen könnte, dass der Grad von q_n genau n ist, wäre man fertig.
C++ Forumbot
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Beitrag C++ Forumbot Forumbot 02:08:47 16.06.2017   Titel:              Zitieren

Dieser Thread wurde von Moderator/in nachtfeuer aus dem Forum Rund um die Programmierung in das Forum Mathematik und Physik verschoben.

Im Zweifelsfall bitte auch folgende Hinweise beachten:
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Beitrag C14 Mitglied 12:57:51 16.06.2017   Titel:              Zitieren

linalg schrieb:
Wenn man sich auf Polynome vom Grad <= n beschränkt, gibt es so ein eindeutiges q_n vom Grad <= n. Wenn man jetzt noch zeigen könnte, dass der Grad von q_n genau n ist, wäre man fertig.

Das sollte sich doch zeigen lassen.
Schau dir für gerades n p und q in der Legendre-Polynom-Basis (https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom) an.
Wenn q nicht vom Grad n ist, ist auch die P_n Komponente 0. Dann ist der Wert des Integrals aber unabhängig von der P_n-Komponente in p.
Die beeinflusst aber p(0), da P_n(0) != 0. Also kann die Gleichung nicht gelten.
linalg
Unregistrierter




Beitrag linalg Unregistrierter 17:23:39 16.06.2017   Titel:              Zitieren

Danke!

Geht das auch elementarer?
C14
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Beiträge: 715
Beitrag C14 Mitglied 19:04:16 16.06.2017   Titel:              Zitieren

Man könnte z.B. auch argumentieren, dass aus p(0) = <p,q> mit Cauchy-Schwarz folgt:
p(0) / |p| <= |q|
Das kann aber nicht für jedes Polynom p sein.
Z.B. kann man sich eine Dreiecksfunktion f basteln mit |f| sehr klein aber f(0) = 1 und die über eine Polynomfolge p_n in Supremumsnorm und damit auch in L^2([-1,1]) approximieren,
d.h. man bekommt ein Polynom, das obige Ungleichung verletzt.
Ist aber auch nicht wirklich elementarer.


Zuletzt bearbeitet von C14 am 22:01:33 16.06.2017, insgesamt 1-mal bearbeitet
linalg
Unregistrierter




Beitrag linalg Unregistrierter 19:42:43 16.06.2017   Titel:              Zitieren

Danke, die Lösung gefällt mir!
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