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C++ Forum :: Mathematik und Physik ::  Orthonormalbasis der stetigen Funktionen     Zeige alle Beiträge auf einer Seite Auf Beitrag antworten
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Fytch
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Anmeldungsdatum: 13.12.2013
Beiträge: 852
Beitrag Fytch Mitglied 21:37:21 06.12.2017   Titel:   Orthonormalbasis der stetigen Funktionen            Zitieren

Hallo

Eine Aufgabe der dieswöchigen LinAlg-Übung (ich habe sie schon gelöst): https://i.imgur.com/onoWi2t.png
Wie man sieht, kann ich nun mit fn und gm einen beliebigdimensionalen Untervektorraum von C0 aufspannen. Solche fn und gm sind eine Orthonormalbasis jener Unterräume. Aber wieso sollte nun §\operatorname{span}\left ( \left \{ f_n \mid n \in \mathbb{N}_0 \right \} \cup \left \{ g_m \mid m \in \mathbb{N} \right \} \right ) = C^0§ gelten?
(In einer Vorlesung hat der Prof mal gesagt, dass Basen von Vektorräumen immer endliche Mengen sind, also bin ich mir nicht mal sicher, ob meine Notation oben überhaupt Sinn macht. Aber wieso verbietet man das explizit? Wieso ist z.B. §\left \{ x \mapsto x^n \mid n \in \mathbb{N}_0 \right \}§ keine Basis von §\mathbb{K}[x]§?)

Was ist der Vorteil dieser Orthonormalbasis gegenüber anderen, z.B. den Legendre-Polynomen? Und gehe ich recht in der Annahme, dass es sich bei der Transformation von C0 in einen dieser von fn und gm aufgespannten Unterräume um die kontinuierliche Fourier-Transformation handelt? (Wir haben Fourier-Transformationen erst im zweiten Semester, daher habe ich keine Ahnung davon. Lediglich, dass man da Funktionen mittels sin/cos approximiert.)

Danke im Voraus und lieben Gruß
Kenner der Basen
Unregistrierter




Beitrag Kenner der Basen Unregistrierter 08:05:05 07.12.2017   Titel:              Zitieren

Das ist nur eine Schauder-Basis, keine Hamel-Basis.
Opensource-Bastelschrott
Unregistrierter




Beitrag Opensource-Bastelschrott Unregistrierter 08:22:46 07.12.2017   Titel:              Zitieren

Dass die Funktionen keine Basis bilden, sieht man so: C⁰ hat überabzählbare Dimension, aber deine Funktionen spannen einen Unterraum von abzählbar unendlicher Dimension auf.
Opensource-Bastelschrott
Unregistrierter




Beitrag Opensource-Bastelschrott Unregistrierter 14:07:50 10.12.2017   Titel:   Re: Orthonormalbasis der stetigen Funktionen            Zitieren

Fytch schrieb:
(In einer Vorlesung hat der Prof mal gesagt, dass Basen von Vektorräumen immer endliche Mengen sind, also bin ich mir nicht mal sicher, ob meine Notation oben überhaupt Sinn macht. Aber wieso verbietet man das explizit? Wieso ist z.B. §\left \{ x \mapsto x^n \mid n \in \mathbb{N}_0 \right \}§ keine Basis von §\mathbb{K}[x]§?)
Basen müssen nicht endlich sein. Nur Linearkombinationen sind immer endlich in der Algebra. Das ist eine Basis des Polynomrings.
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