ich möchte, dass ein Thread, den ich mit

TPing *SecondProcess = new TPing(false); // Thread erzeugen

erzeuge und starte sich automatisch nach Ablauf der Execute-Methode beendet. Dies sollte ja so laufen, da ja bei "new TPing" false mit übergeben wird.
Jedoch erscheint im Thread-Statusfenster der Thread mit dem verwunderlichen Zustand "Angehalten". Wird der Thread also nicht automatisch beendet?
Was müsste ich zusätzlich tun?

Wertest Du in Execute Terminated aus zum Schleifenabbruch?

void __fastcall TPing::Execute()
{
 while (!Terminated)  //wenn Thread nicht unterbrochen wurde:
 {
   try    //Ping an Rechner abschicken
   {
     Synchronize(Pingen);
   Form1->NextPing();
   }
   catch (Exception &E) //Fehlerbehandlungsroutine (z.B. Fehlermeldung erzeugen)
   {
     Synchronize(Fehlerbehandlungsroutine);
   Form1->NextPing();
   }
   Application->ProcessMessages();

 }
}

Und so die Funktionen

void __fastcall TPing::Pingen()
{
    int PingAntwortZeit = PingHost(Form1->aktuellerrechnername->Caption, NULL);
    //angepingter PC am Netz?
    if (PingAntwortZeit!=-1)    //wenn PC am Netz:
     Form1->aktuellerrechnerstatus->Caption="PC_im_Netz";
    else
     Form1->aktuellerrechnerstatus->Caption="PC_nicht_im_Netz";  //wenn nicht im Netz:
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TPing::Fehlerbehandlungsroutine()
{
    Form1->aktuellerrechnerstatus->Caption="PC_nicht_im_Netz";
}

zB: int i;
i++;

und mach darauf nen Haltepunkt!

Teste mal ob der angefahren wird?

Wann wird der Thread terminated???

PS: Deine Schleife muss ein Ende finden koennen - mit geeigneter Bedingung. Osder das Hauptprogramm muss Terminate rufen!