bei meinen Programm gibt der string eingabe() den Ort an wo sich die Datenbank befindet, z.B. localhost, stimmt der Ort jetzt nicht, z.B. durch einen Schreibfehler, stürzt das Programm nur noch ab ohne die Fehlermeldung zu bringen. Wie kann ich das ändern?

datenbank::datenbank():mysql(NULL), ergebnis_(NULL), reihe_(NULL) {
    // Datenbank initialisieren
    mysql = mysql_init(NULL);
    // Verbindung mit Datenbank herrstellen
    mysql = mysql_real_connect(mysql, eingabe().c_str(), "root","******", "notizen", 0,NULL, 0);
    fehlerpruefen();
}

void datenbank::fehlerpruefen() {
    if (mysql_errno(mysql) !=0) {
    fltk::message("Fehler in der Datenbank! Programm wird beendet.");
    exit(0);
    }
}

throw
try
catch

MYSQL *db;

db = mysql_init(NULL);
  if(!db)
  {
  	printf("FEHLER! Kann Datenbank nicht initialisieren! \n");
	return 1;
  }

db = mysql_real_connect(db,HOST,USER,PASS,DB,0,0,0);
  if(!db)
  {
  	printf("FEHLER! Kann Verbindung mit Datenbank nicht herstellen! \n");
	return 1;
  }

Die Zeile:

mysql = mysql_real_connect(mysql, eingabe().c_str(), "root","******", "notizen", 0,NULL, 0);

löscht den Zeiger des von mysql_init erzeugten Objektes.
mysql_errno bekommt anschliessend den NULL Pointer und mag das vermutlich gar nicht.

Statt mysql mit dem Ergebnis von mysql_real_connect zu überschreiben, einfach nur auf != NULL prüfen (oder in Deinem Fall den Returnwert ignorieren - mysql_errno sollte das dann erledigen) - besser ist aber die direkte Prüfung.

datenbank::datenbank():mysql(NULL), ergebnis_(NULL), reihe_(NULL) {
    // Datenbank initialisieren
    mysql = mysql_init(NULL);
    // Verbindung mit Datenbank herrstellen
    mysql_real_connect(mysql, eingabe().c_str(), "root","******", "notizen", 0,NULL, 0);
    fehlerpruefen();
}

void datenbank::fehlerpruefen() {
    int fehlerNummer=mysql_errno(mysql);
    if (fehlerNummer!=0) {
        throw MySQLException(fehlerNummer,mysql_error(mysql));
    }
}

MySQLException:

class MySQLException:public std::exception{
    private:
        int fehlerNummer;
        std::string nachricht;
    public:
        MySQLException(int fehlerNummer,const std::string& nachricht ):fehlerNummer(fehlerNummer),nachricht(nachricht){}
        ~MySQLExcetion()throw(){}
        const char* what()const{//what ist eine methode aus std::exception die überschrieben werden muss
            return nachricht.c_str();
        }
        int fehlerNummer(){
            return fehlerNummer;
        }
};

und in der main:

try{
    datenbank db;
}
catch(MySQLException& excep){
    std::cout<<"Error "<<excep.fehlerNummer()<<":"<<excep.what();
}

Hmm aber wenn er exceptions benutzt, kann er auch gleich die c++ api nehmen oder ?

Jein. Wenn er das interface wrappen will, ist er mit C deutlich besser dran, da funktionen+strukturen normalerweise einfacher gewrappt werden können als Klassen.