Funktion auf mehrere dateien verpacken- wo fehler?



  • So nun zu Potenz. Die Funktion ist auch nicht ganz korrekt. Es fehlt eine Abfrage für e=0;

    double potenz(double b, int e)
    {
       if( i==0 ) return 1.0;
       if( i==1 ) return b;
       double be = b;
       for(int i=0; i<e-1; i++)
       {
         be *= b;
       }
       return be;
    }
    

    Für negative e müßte man auch noch eine Sonderbehandlung einführen.
    Ansonsten nimm statt deiner eigenen Potenz pow.
    Bsp.

    fx  += koeff[i] * pow(xnull,i);
    


  • Ok naeherung ist auch falsch, weil es davon ausgeht, dass die Koeffizienten aufsteigend sortiert sind, es ist aber absteigend.

    double fx = koeff[grad];
    for(int i=grad;i<=1;--i)
    {
        fx  += koeff[i] * potenz(xnull,i);  //summiert f(x)
        fxA += koeffA[i] * potenz(xnull,i-1); //summiert f'(x)
    }
    


  • Hallo,

    Ich hab gerade erst deinen letzten post gelesen.
    Ob du iter mit int iter = 0; oder int iter(0); initialisierst ist egal.
    bzgl. Punkte 3 und 4. Du addierst doch fx und fxA in der for-Schleife auf. Da müssen sie doch einen Anfangswert haben. Bei C++ sind die Variablen nicht automatisch 0 bei der Deklaration.



  • Braunstein schrieb:

    Ok naeherung ist auch falsch, weil es davon ausgeht, dass die Koeffizienten aufsteigend sortiert sind, es ist aber absteigend.

    double fx = koeff[grad];
    for(int i=grad;i<=1;--i)
    {
        fx  += koeff[i] * potenz(xnull,i);  //summiert f(x)
        fxA += koeffA[i] * potenz(xnull,i-1); //summiert f'(x)
    }
    

    Mit den Koeffizienten ist das nicht ganz richtig gesagt. Ich gehe nur davon aus, das die Koeffizienten in Abhängigkeit zu den Exponenten absteigend eingegeben werden! Desweiteren stimme ich

    fx  += koeff[i] * potenz(xnull,i);  //summiert f(x)
    

    Ja nicht ganz zu weil es die Variable grad sein muss und nicht i die ausgewertet wird, da ja absteigend.
    Und mit ^0 meintest du bestimmt, das 2^0 nicht 1 bei mir ergeben richtig?

    Nun steht bei mir folgendes:

    #include <iostream>
    #include <cmath>
    #include "ableitung.h"
    using namespace std;
    /* 
    Diese Funktion führt das Newton'sche Näherungsverfahren durch
    */
    const int MaxIter = 100;
    
    double naeherung(int grad, double *koeff, double *koeffA, double xnull)
    {
      double xeins;
      int iter(0);
      do
      {
         xeins=xnull;
         double fxA=0;
         double fx = koeff[0];
         for(int i=1;i<=grad;++i)
         {
             fx  += koeff[i] * pow(xnull,grad);  //summiert f(x)
             fxA += koeffA[i] * pow(xnull,grad-1); //summiert f'(x)
         }
         xnull -= fx/fxA; //neuer Näherungswert
         ++iter;
      } while(fabs(xeins-xnull) > 1.0e-10 && iter < MaxIter);
      return xnull;
    }
    

    Aber das Ergebnis ist immernoch verwirrend!

    Und was ist mit dem i=1 in der for-Schleife? i=0 wäre doch sinnvoller nicht war?



  • Uups? Ist natürlich Quatsch was ich da geschrieben hab
    So ist es besser.

    double fx = koeff[grad];
    for(int i=grad;i<=1;--i)
    {
        fx  += koeff[grad - i] * potenz(xnull,i);  //summiert f(x)
        fxA += koeffA[grad - i] * potenz(xnull,i-1); //summiert f'(x)
    }
    


  • Der Debugger zeigte hier einen Fehler:

    fx  += koeff[grad - i] * potenz(xnull,i);  //summiert f(x)
    

    Ich habe nun auf meine eigene potenz(); verzichtet und verwende nun pow(); aus cmath. Habs dementsprechend auch angepasst und somit den erwähnten Fehler behoben.
    Nun gibt er -1,#INF wieder aus. Ich dachte das liegt an dieser Zeile:

    for(int i=grad;i<=1;--i)
    

    Habe deshalb die Bedingung auf <=0 angepasst aber komme auch hier zum gleichen Ergebnis. -> -1,#INF
    Nicht ganz der gewünschte Wert!

    Kurze Frage nebenbei: Kann ich mir eigentlich die standartbibliotheken angucken irgendwo? Möchte gerne wissen wie die pow() aufegbaut ist. Suche auch noch ein gutes Buch das ALLE Standartfunktionen erklärt. Jemand einen Tipp?



  • fx  += koeff[i] * pow(xnull,grad);  //summiert f(x)
    fxA += koeffA[i] * pow(xnull,grad-1);
    

    Das ist Unsinn. Du hast doch ein Polynom. Hier wäre doch jeder Exponent gleich.

    Bei grad=3 würde das so aussehen.
    f(x) = koeff[grad] * x^grad + koeff[grad-1] * x^grad + ... + koeff[0] * x^grad

    das Ganze muß doch aber so aussehen
    f(x) = koeff[grad] * x^grad + koeff[grad-1] * x^(grad-1) + ... + koeff[0] * x^0

    die Ableitung dann so
    f'(x) = koeff[grad] * grad * x^(grad-1) + koeff[grad-1] * (grad-1) * x^(grad-2) + ... + koeff[1] * x^0

    CStoll hat dir doch den Link hier gegeben
    http://www.cppreference.com
    da stehen doch die Standardbibliotheken.
    und darin steht auch pow
    http://www.cppreference.com/stdmath/pow.html



  • for(int i=grad;i<=0;--i)
    

    Versteh ich beispielsweise auch nicht weil i=grad schwachsinnig ist, sondern i=0 sinnvoller...

    for(int i=0;i<=grad;i++)
    

    wäre für mich erstmal sinnvoller
    mhm.. und wie sollte es dann richtig aussehen?
    Für sinnvoller halte ich folgendes:

    #include <iostream>
    #include <cmath>
    #include "ableitung.h"
    using namespace std;
    /* 
    Diese Funktion führt das Newton'sche Näherungsverfahren durch
    */
    const int MaxIter = 100;
    
    double naeherung(int grad, double *koeff, double *koeffA, double xnull)
    {
      double xeins;
      int iter(0);
      do
      {
         xeins=xnull;
         double fxA=0;
         double fx = koeff[grad];
         for(int i=0;i<=grad;i++)
         {
          fx  += koeff[grad - i] * pow(xnull,grad);  //summiert f(x)
          fxA += koeffA[grad - i] * pow(xnull,grad-1); //summiert f'(x)
         }
         xnull -= fx/fxA; //neuer Näherungswert
         ++iter;
      } while(fabs(xeins-xnull) > 1.0e-10 && iter < MaxIter);
      return xnull;
    }
    

    Nun bekomme ich nämlich auch ein Ergebnis: 1.31624 für die oben genannte Funktion. Dies entspricht aber dennoch keiner wahren Nullstelle dieser funktion 😞
    -1.5 und 0 sind die Nullstellen bei dieser Funktion:
    grad=2, koeff1=2, koeff2=3, xnull=-2



  • Wenn dann bitte schön so

    double fx = koeff[grad];
    for(int i=0;i<grad;++i)
    {
        fx  += koeff[i] * pow(xnull,grad - i);  //summiert f(x)
        fxA += koeffA[i] * pow(xnull,grad - i - 1); //summiert f'(x)
    }
    

    Bitte lies auch nochmal meinen vorigen Post.



  • Braunstein schrieb:

    Wenn dann bitte schön so

    double fx = koeff[grad];
    for(int i=0;i<grad;++i)
    {
        fx  += koeff[i] * pow(xnull,grad - i);  //summiert f(x)
        fxA += koeffA[i] * pow(xnull,grad - i - 1); //summiert f'(x)
    }
    

    Bitte lies auch nochmal meinen vorigen Post.

    Ja, aber dann bekommen wir wieder -1,#IND
    Liegt das daran, dass die Größe des Double-Datentyps überschritten wird?



  • Wie deklarierst du eigentlich koeff und koeffA?
    Wenn du grad eingeben läßt, sollte es etwa so aussehen.

    double* koeff = new double[grad+1]; // du hast ja grad+1 Koeffizienten
    double* koeffA = new double[grad]; // kann ja eins kleiner sein
    // ganz zum Schluß dann noch
    delete[] koeff;
    delete[] koeffA;
    

    Bei vorgegebenen konstanten grad reicht dann auch sowas

    double koeff[grad+1];
    double koeffA[grad];
    


  • Bei vorgegebenen konstanten grad reicht dann auch sowas

    Was heißt das? Wozu delete? Die koeff wird bereits in der naeherung.cpp dekleriert. Das ist die datei über die die Werte eingegeben werden:

    #include <iostream>
    #include <conio.h>
    #include "ableitung.h"
    using namespace std;
    /*Diese Funktion fragt lediglich alle Einzugebenen Daten ab.
    grad steht für den Grad der Funktion.
    koeff reserviert den Platz für die Koeffizienten, die Anzahl ist ja vom Grad abhängig.
    xnull steht für den Startwert.
    */
    int main(void)
    {
        char r;
        int grad;
        double koeff[grad];
    
        //Die Eingabe des Grades und der Koeffizienten kann ggf. wiederholt werden
        do
        {
         int i;
         cout << "Bitte geben Sie den Grad der Funktion ein: ";
         cin >> grad;
         cout << "Bitte geben Sie jetzt die Koeffizienten ein (absteigende Reihenfolge der Exponenten und 0 beachten): " << endl;
    
         //Eingabe der Koeffizienten, bedingt durch den Grad der Funktion
         for(i=0;i<grad;i++)
         {
          cin >> koeff[i];
         }
         cout << "Ist das Ihre Funktionsgleichung: ";
    
         //Ausgabe der Koeffizienten, bedingt durch den Grad der Funktion
         for (i=0;i<grad;i++)
         { 
           cout << "+" << koeff[i] << "x^" << grad - i; 
         }
         cout << "? Wenn ja geben sie j ein und bestaetigen Sie mit Enter. Anderfalls geben Sie bitte n ein und bestaetigen dies: ";
         cin >> r;
        }while(r=='n');
        //Wenn die ausgegebene Funktionsgleichung mit der des Benutzers übereinstimmt geht es hier weiter, anderfalls wird die Eingabe wiederholt.
    
        //Eingabe des Startwertes
        double xnull;
        cout << "Bitte geben Sie den Startwert x0 fuer die Naeherung an: ";
        cin >> xnull;
    
        //Funktion zum Ableiten
        double koeffA[grad+1];
        ableitung(grad, koeff, koeffA);
    
        //Ausgabe der abgeleiteten Koeffizienten
        cout << endl << "Die abgeleiteten Koeffizienten sind: ";
        for(int i=0;i<grad;i++)
        {
         koeffA[i]=(grad - i)*koeff[i];
         cout << koeffA[i] << ", ";
        }
    
        //Funktion zum Nähern
        cout << naeherung(grad, koeff, koeffA, xnull);
        /*
        char re;
        do
        {
         cout << endl << "Moechten Sie die Naeherung erneut durchfuehren um ein exakteres Ergebnis zu erhalten? Wenn ja geben sie j ein und bestaetigen Sie mit Enter. Anderfalls geben Sie bitte n ein und bestaetigen dies: ";
         cin >> re;
        }while(re=='j');
        */
        getch();
        return 0;
    }
    

    Ich habe nun grad+1 in der Definition nun mal getestet, bekomme aber auch wieder -1.#IND ausgegeben. Die Änderung siehst du hier:

    //Funktion zum Ableiten
        double koeffA[grad+1];
    

    vorher nur grad! Die Dekleration kann aber nur von hier erfolgen weil die Koeffizienten übergeben werden.



  • Das hier funktioniert nicht

    int grad;
    double koeff[grad];
    

    Wenn du koeff deklarierst hat grad doch noch gar keinen Wert. Da kann sonst was drin stehen. Lass es dir einfach mal ausgeben, dann wirst du sehen was ich meine.
    Du kannst koeff und koeffA erst deklarieren wenn du grad kennst. Also nach dem Einlesen. Und dann mußt du new verwenden (und delete). Mich wundert schon, dass der Compiler das durchlässt.
    Ich denke es wäre gut, wenn du ein Grundlagentutorial mal liest.
    Dann noch
    Nach Aufruf von Ableitung berechnest du deine Koeffizienten ja nochmal. Wozu das?



  • Braunstein schrieb:

    Das hier funktioniert nicht

    int grad;
    double koeff[grad];
    

    Wenn du koeff deklarierst hat grad doch noch gar keinen Wert. Da kann sonst was drin stehen. Lass es dir einfach mal ausgeben, dann wirst du sehen was ich meine.
    Du kannst koeff und koeffA erst deklarieren wenn du grad kennst. Also nach dem Einlesen. Und dann mußt du new verwenden (und delete).

    Verstehe dein bedenken, aber in die do kann ich das nicht reinstecken, dann streikt der Debugger! Wie mach ich das nun? Achja, aber wieso kann er dann ableiten? Weil die richtige Funktionsgleichung und die Ableitungskoeffizienten werden ausgegeben..

    Korrigiere mich, hab es nun so gemacht:

    int main(void)
    {
        char r;
        int grad;
        double koeff[grad];
        //Die Eingabe des Grades und der Koeffizienten kann ggf. wiederholt werden
        do
        {
         int i;
         cout << "Bitte geben Sie den Grad der Funktion ein: ";
         cin >> grad;
         double koeff[grad];
         cout << "Bitte geben Sie jetzt die Koeffizienten ein (absteigende Reihenfolge der Exponenten und 0 beachten): " << endl;
    
         //Eingabe der Koeffizienten, bedingt durch den Grad der Funktion
         for(i=0;i<grad;i++)
         {
          cin >> koeff[i];
         }
         cout << "Ist das Ihre Funktionsgleichung: ";
    
         //Ausgabe der Koeffizienten, bedingt durch den Grad der Funktion
         for (i=0;i<grad;i++)
         { 
           cout << "+" << koeff[i] << "x^" << grad - i; 
         }
         cout << "? Wenn ja geben sie j ein und bestaetigen Sie mit Enter. Anderfalls geben Sie bitte n ein und bestaetigen dies: ";
         cin >> r;
        }while(r=='n');
        //Wenn die ausgegebene Funktionsgleichung mit der des Benutzers übereinstimmt geht es hier weiter, anderfalls wird die Eingabe wiederholt.
    
        //Eingabe des Startwertes
        double xnull;
        cout << "Bitte geben Sie den Startwert x0 fuer die Naeherung an: ";
        cin >> xnull;
    
        //Funktion zum Ableiten
        double koeffA[grad+1];
        ableitung(grad, koeff, koeffA);
    
        //Ausgabe der abgeleiteten Koeffizienten
        cout << endl << "Die abgeleiteten Koeffizienten sind: ";
        for(int i=0;i<grad;i++)
        {
         koeffA[i]=(grad - i)*koeff[i];
         cout << koeffA[i] << ", ";
        }
    
        //Funktion zum Nähern
        cout << naeherung(grad, koeff, koeffA, xnull);
        /*
        char re;
        do
        {
         cout << endl << "Moechten Sie die Naeherung erneut durchfuehren um ein exakteres Ergebnis zu erhalten? Wenn ja geben sie j ein und bestaetigen Sie mit Enter. Anderfalls geben Sie bitte n ein und bestaetigen dies: ";
         cin >> re;
        }while(re=='j');
        */
        getch();
        return 0;
    }
    

    Nun spuckt er aber durchgeknallte werte aus für die abgeleiteten Koeffizienten die nicht stimmen und am Näherungswert hat sich auch nichts geändert..



  • Ich habe dort double koeff[grad]; zweimal deklariert.
    So geht es weitgehend aber mit der oben genannten Fehlermeldung. Also Unbrauchbar. Nun habe ich es so gemacht das nur noch nach der dekleration von grad, also innerhalb von do, die Dekleration stattfindet von koeff. Dann verweist der Compiler ab auf die Zeile wo die ableitungs-Funktion steht. Diese ist ja außerhalb der do-Schleife, demnach ist koeff hier halt nicht bekannt. Also was nun?



  • Bitte, Bitte lies dir eine Tutorial durch.
    Ich geb dir jetzt mal einen funktionierenden Code. Schau ihn dir an und versuch ihn zu verstehen.

    #include <iostream>
    #include <cmath>
    //#include "ableitung.h"
    using namespace std;
    /*Diese Funktion fragt lediglich alle Einzugebenen Daten ab.
    grad steht für den Grad der Funktion.
    koeff reserviert den Platz für die Koeffizienten, die Anzahl ist ja vom Grad abhängig.
    xnull steht für den Startwert.
    */
    
    int ableitung(int grad, double *koeff, double *koeffA)
    {
        for(int i=0; i<grad; i++)
        {
           koeffA[i]=(grad - i)*koeff[i];
        }
    }
    
    double naeherung(int grad, double *koeff, double *koeffA, double xnull)
    {
      const int MaxIter = 10;
      double xeins;
      int iter(0);
      do
      {
         xeins=xnull;
         double fxA=0;
        double fx = koeff[grad];
        for(int i=0;i<grad;++i)
        {
            fx  += koeff[i] * pow(xnull,grad - i);  //summiert f(x)
            fxA += koeffA[i] * pow(xnull,grad - i - 1); //summiert f'(x)
        }
        xnull -= fx/fxA; //neuer Näherungswert
        ++iter;
      } while(fabs(xeins-xnull) > 1.0e-10 && iter < MaxIter);
      return xnull;
    }
    
    int main(void)
    {
        char r;
        int grad;
        double* koeff(0);
        double* koeffA(0);
        //Die Eingabe des Grades und der Koeffizienten kann ggf. wiederholt werden
        do
        {
         int i;
         cout << "Bitte geben Sie den Grad der Funktion ein: ";
         cin >> grad;
         cout << "Bitte geben Sie jetzt die Koeffizienten ein (absteigende Reihenfolge der Exponenten und 0 beachten): " << endl;
         koeff = new double[grad+1];
         koeffA = new double[grad+1]; // nur zur Sicherheit
         //Eingabe der Koeffizienten, bedingt durch den Grad der Funktion
         for(i=0;i<=grad;i++) // <= denn eine Funktion 5.Grades hat ja 6 Koeffizienten
         {
          cin >> koeff[i];
         }
         cout << "Ist das Ihre Funktionsgleichung? " << endl;
    
         //Ausgabe der Koeffizienten, bedingt durch den Grad der Funktion
         for (i=0;i<=grad;i++)
         {
           if( i<grad)
             cout << koeff[i] << "x^" << grad - i << "+" ;
           else
             cout << koeff[i];
         }
         cout << endl << "? Wenn ja geben sie j ein und bestaetigen Sie mit Enter. Anderfalls geben Sie bitte n ein und bestaetigen dies: ";
         cin >> r;
         if( r=='n')
         {
            delete[] koeff;
            delete[] koeffA;
         }
        }while(r=='n');
        //Wenn die ausgegebene Funktionsgleichung mit der des Benutzers übereinstimmt geht es hier weiter, anderfalls wird die Eingabe wiederholt.
    
        //Eingabe des Startwertes
        double xnull;
        cout << "Bitte geben Sie den Startwert x0 fuer die Naeherung an: ";
        cin >> xnull;
    
        //Funktion zum Ableiten
        ableitung(grad, koeff, koeffA);
    
        //Ausgabe der abgeleiteten Koeffizienten
        cout << endl << "Die abgeleiteten Koeffizienten sind: ";
        for(int i=0;i<grad;i++)
        {
         cout << koeffA[i] << ",  ";
        }
    
        //Funktion zum Nähern
        cout << endl << "Naeherung:  " << naeherung(grad, koeff, koeffA, xnull);
        delete[] koeff;
        delete[] koeffA;
        return 0;
    }
    


  • Der Code geht aber nicht. Debugger sagt:

    multiple definition of `naeherung(int, double*, double*, double)'
    first defined here
    ld returned 1 exit status
    D:\Desktop-Save\c++\Aufträge + Übungen\08. Newton Näherungsverfahren\näherung\Makefile.win [Build Error] [Naeherungsverfahren.exe] Error 1



  • ...dann nimm die Datei aus dem Projekt wo Deine alte Funktion naeherung definiert ist... 🙄



  • Ihr habt irgendwas vergessen, oder ich übersehen, aber nun klappt es. Hab alles vorerst in eine Datei gepackt:

    #include <iostream>
    #include <cmath>
    #include <conio.h>
    //#include "ableitung.h"
    
    using namespace std;
    double naeherung(int grad, double *koeff, double *koeffA, double xnull);
    double ableitung(int grad, double *koeff, double *koeffA);
    /* 
    Diese Funktion führt die eigentliche Ableitung durch.
    Es müssen hier zwei Parameter übergeben werden:
    Der Grad der Funktion und die Koeffizienten.
    */
    double ableitung(int grad, double *koeff, double *koeffA)
    {
        int i;
        for(i=0;i<grad;i++)
        {
         koeffA[i]=(grad - i)*koeff[i];
        }
        return 0;
    }
    
    /*Diese Funktion fragt lediglich alle Einzugebenen Daten ab.
    grad steht für den Grad der Funktion.
    koeff reserviert den Platz für die Koeffizienten, die Anzahl ist ja vom Grad abhängig.
    xnull steht für den Startwert.
    */
    
    double naeherung(int grad, double *koeff, double *koeffA, double xnull)
    {
      const int MaxIter = 10;
      double xeins;
      int iter(0);
      do
      {
         xeins=xnull;
         double fxA=0;
        double fx = koeff[grad];
        for(int i=0;i<grad;++i)
        {
            fx  += koeff[i] * pow(xnull,grad - i);  //summiert f(x)
            fxA += koeffA[i] * pow(xnull,grad - i - 1); //summiert f'(x)
        }
        xnull -= fx/fxA; //neuer Näherungswert
        ++iter;
      } while(fabs(xeins-xnull) > 1.0e-10 && iter < MaxIter);
      return xnull;
    }
    
    int main(void)
    {
        char r;
        int grad;
        double* koeff(0);
        double* koeffA(0);
        //Die Eingabe des Grades und der Koeffizienten kann ggf. wiederholt werden
        do
        {
         int i;
         cout << "Bitte geben Sie den Grad der Funktion ein: ";
         cin >> grad;
         cout << "Bitte geben Sie jetzt die Koeffizienten ein (absteigende Reihenfolge der Exponenten und 0 beachten): " << endl;
         koeff = new double[grad+1];
         koeffA = new double[grad+1]; // nur zur Sicherheit
         //Eingabe der Koeffizienten, bedingt durch den Grad der Funktion
         for(i=0;i<=grad;i++) // <= denn eine Funktion 5.Grades hat ja 6 Koeffizienten
         {
          cin >> koeff[i];
         }
         cout << "Ist das Ihre Funktionsgleichung? " << endl;
    
         //Ausgabe der Koeffizienten, bedingt durch den Grad der Funktion
         for (i=0;i<=grad;i++)
         {
           if( i<grad)
             cout << koeff[i] << "x^" << grad - i << "+" ;
           else
             cout << koeff[i];
         }
         cout << endl << "? Wenn ja geben sie j ein und bestaetigen Sie mit Enter. Anderfalls geben Sie bitte n ein und bestaetigen dies: ";
         cin >> r;
         if( r=='n')
         {
            delete[] koeff;
            delete[] koeffA;
         }
        }while(r=='n');
        //Wenn die ausgegebene Funktionsgleichung mit der des Benutzers übereinstimmt geht es hier weiter, anderfalls wird die Eingabe wiederholt.
    
        //Eingabe des Startwertes
        double xnull;
        cout << "Bitte geben Sie den Startwert x0 fuer die Naeherung an: ";
        cin >> xnull;
    
        //Funktion zum Ableiten
        ableitung(grad, koeff, koeffA);
    
        //Ausgabe der abgeleiteten Koeffizienten
        cout << endl << "Die abgeleiteten Koeffizienten sind: ";
        for(int i=0;i<grad;i++)
        {
         cout << koeffA[i] << ",  ";
        }
    
        //Funktion zum Nähern
        cout << endl << "Naeherung:  " << naeherung(grad, koeff, koeffA, xnull);
        delete[] koeff;
        delete[] koeffA;
        getch();
        return 0;
    }
    


  • Kann mir denn jemand einen Tipp geben wo ich erklärungen finde was

    delete[] koeff;
    

    und

    koeff = new double[grad+1];
    

    genau bedeuten?
    Achja und wozu

    double* koeff(0);
    

    Warum schreiben wir hier nicht die Standartdekleration wie es im Lehrbuch steht:

    double* koeff=0;
    

    Wo liegen die Unterschiede?


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