class myclass
{
    myclass(int); //Erster Konstruktor
    myclass(std::string); //Zweiter Konstruktor
};

myclass::myclass(std::string Parameter)
{
    this->myclass( atoi(Parameter[0]) ); //(Geht nicht)
}

int main(void)
{
    myclass myobject("1");
    ...
}

Wie kann ich aus dem zweiten Konstruktor den ersten aufrufen?

Für das Objekt, das gerade konstruiert wird: gar nicht.

class myclass
{
    konstruktor(int); //"Hilfskonstruktor"
    myclass(int); //Erster Konstruktor
    myclass(std::string); //Zweiter Konstruktor
};

myclass::myclass(std::string Parameter)
{
    this->konstruktor( atoi(Parameter[0]) ); //(Geht nicht)
}

myclass::myclass(int Parameter)
{
    this->konstruktor( Parameter ); //(Geht nicht)
}

int main(void)
{
    myclass myobject("1");
    ...
}

Gruß
Don06

kopieren musst du trotzdem nichts. lager die initialisierung mit einem int einfach in eine private methode aus und ruf diese aus beiden konstruktoren.