#include <iostream>
#include "conio.h"
#include <cmath>

using namespace std;

int main(void) {
    int k(2);
    long double t1=1.0, tn=1.0, save;
    while(k<1500) {
    save=tn;
    tn=t1+tn;
    t1=save;
    k++;
    cout << "F" << k << "=" << tn << endl;
    }

    getch();
    return 0;
}

P.S: Gibt es auch noch eine Möglichkeit, so lange Zahlen ohne die Zehnerpotenzen anzuzigen und alle Ziffern vollständig anzuzeigen?

Was soll long long double sein? Da Zeigt mein PC nur noch ganze kurze Zahlen an(ich nehme mal an, in int umgewandelt)

P.S: Gibt es auch noch eine Möglichkeit, so lange Zahlen ohne die Zehnerpotenzen anzuzigen und alle Ziffern vollständig anzuzeigen?

Gleitkommazahlen (Typ float, double oder long double) speichern die ganzen Ziffern doch gar nicht, also wozu? Du würdest hunderte von Nullen bekommen.
double beispielsweise hat eine Mantisse von 53 Bits, das sind etwa 17 signifikante Stellen.
Am besten würdest du wohl tatsächlich mit einer Bibliothek wie der GMP fahren.

Das Problem ist nicht der Datentyp long double, sondern wie cout damit umgeht: Ausgabe als double. Ersetz mal versuchsweise cout durch printf.

Das stimmt so nicht. Die Präzision von std::cout kann eingestellt werden. Wenn die Typen double und long double bei gewissen Compilern gleich gross sind, werden sie auch gleich ausgegeben.

Bei Gleitkomma würde die Genauigkeit ab dem Zeitpunkt, wo die Mantisse der Gleitkommazahl ausgeschöpft ist, mit jeder weiteren Iteration sinken. Wenn du ab dem Zeitpunkt dann noch z.B. 1000 Iterationen weiter rechnest, kannst du vermutlich gleich ne (sehr lange) Hausnummer hinschreiben. Die wird nämlich mit dem richtigen Ergebnis etwa gleichviel gemeinsam haben, wie die Zahl die du mittels Gleitkomma ausrechnest.