while(filein.eof() == false) {
    int i=0;
    filein.getline(tmpP, sizeof(tmpP));
    i++;
    }
    for (int i=0; i<=sizeof(tmpP); i++) {
    cout << tmpP[i];
    }

Zuvor wurde noch die Variable

char tmpP[1000];

deklariert!
In der Datei steht folgendes:
Hey
Hkk
Die Ausgabe des Programms:
kk

Wie kriege ich es hin, das die einzelnen Zeilen der Datei in jeweils einen Element eines String-Arrays rein?
In meinem alten Compiler habe ich das immer wunderbar hingekriegt!

Ich würde dir empfehlen, vorerst auf nackte Arrays zu verzichten und mit STL-Klassen zu arbeiten:

string zeile;
vector<string> datei;
while(getline(filein, zeile))
  datei.push_back(zeile);
for(size_t i=0;i<datei.size();++i)
  cout<<datei[i]<<endl;

Wie kriege ich es hin, das die einzelnen Zeilen der Datei in jeweils einen Element eines String-Arrays rein?

Ein Anfang wäre die Benutzung von Strings

So eben aus dem Handgelenk, ohne auf Syntaxfehler zu prüfen:

#include<vector>
#include<fstream>
#include<iostream>
#include<string>

using namespace std;

int main()
{
 vector<string> zeilen;
 {
  ifstream datei("Bla.txt");
  string zeile;
  while(getline(datei, zeile)) 
   zeilen.push_back(zeile);
 }
 cout<<"Inhalt der Datei zeilenweise:\n";
 for(unsigned int i=0; i<zeilen.size(); ++i)
  cout << zeilen[i] << '\n';
}

In SeppJ's Code kam ein string::push_back() vor:
Zeile 15!

Genau lesen - zeile ist ein string, zeilen ist ein vector<>