string msg = "text1";
boost::asio::write(client, boost::asio::buffer(msg, msg.length()));

Der client liest ihn dann:

boost::asio::streambuf readBuffer;
boost::asio::read_until(client, readBuffer, '1');

Nun soll der client 2 texte erhalten.

server:

string msg = "text1";
boost::asio::write(client, boost::asio::buffer(msg, msg.length()));
msg = "text2";
boost::asio::write(client, boost::asio::buffer(msg, msg.length()));

client:

boost::asio::streambuf readBuffer;
boost::asio::read_until(client, readBuffer, '1');
boost::asio::read_until(client, readBuffer, '2');

Aber am ende enthält readBuffer nicht "text2" sondern "text1text2".

Wieso und wie kann ich das ändern?

Du hast EIN readBuffer und rufst danach einfach zweimal read_until(..) auf - logisch landet das in demselben Buffer hintereinander. Nimm entweder zwei Buffer oder entferne das gelesene nach dem ersten read_until(..) aus dem Buffer.