Das ist bei mir dabei herausgekommen:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;

int main()
{
    vector<string> word_vec;
    string text_str;
    getline(cin, text_str);

    for(string::size_type ix=0; ix <= text_str.size(); ++ix)
    {
        int x=0;
        int f=0;
        if(!(isspace(text_str[f])))
        {
            word_vec[x].push_back(text_str[f]);
        }

        else if(isspace(text_str[f]))
        {
            ++x;
        }

        ++f;
    }

    return 0;
}

Der Code wird vom meinem Compiler g++ kompiliert. Nach der Eingabe des Textes
meldet Windows das das Programm nicht mehr funktioniert.
Also hab ich die Vektoren gegen arrays getauscht.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;

int main()
{
    string word_vec[20]; //testweise 20
    string text_str;
    getline(cin, text_str);

    for(string::size_type ix=0; ix <= text_str.size(); ++ix)
    {
        int x=0;
        int f=0;
        if(!(isspace(text_str[f])))
        {
            word_vec[x].push_back(text_str[f]);
        }

        else if(isspace(text_str[f]))
        {
            ++x;
        }

        ++f;
    }

    for(int i=0; i != 19; ++i)
    {
        cout << word_vec[i] << endl;
    }

    return 0;
}

Hier meldet Windows keine Fehler aber cout gibt mir den Anfangsbuchstaben des
strings aus. Was hab ich falch gemacht ? Vielen Dank schonmal im Voraus.

word_vec[x].push_back(text_str[f]);

Dein Vector ist leer. Du müsstest erst einen String Einfügen, um dann etwas daran anhängen zu können.

Könnte der Vektor "word_vec" nicht einfach während des Codes neuen Speicherplatzt für die Buchstaben hinzufügen ?.

Dir fehlen die Worte

Du müsstest ein leeres Wort einfügen, wenn eine neues Wort anfängt. Aber wenn du es so machen würdest, wie SeppJ es beschrieben hat, würdest du einfach das fertige Wort mit push_back in den Vector einhängen.

word_vec.push_back( word );

#include <iostream>
#include <string>

int main()
{
        std::string w;
        while( std::cin >> w ){
                std::cout << w << std::endl;
        }
}

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;

int main()
{
    string word_str[20]; //testweise 20 . gibt natürlich einen Fehler wenn der Satzt mehr als 20 Wörter enthält aber ich bin erstmal froh wenn sich überhaupt was tut.
    string text_str; // leerer string
    getline(cin, text_str); // liest von der Standarteingabe

    for(string::size_type ix=0; ix != text_str.size(); ++ix) // wenn text_str z.B. "Bald ist Weinachten" enthält wird diese Schleife nur 19 mal wiederholt 
    {
        int x=0; 
        int f=0;
        if(!(isspace(text_str[f]))) // im ersten Schleifendurchlauf steht hier ja if(!(isspace(text_str[0]))) also wird geprüft ob das erste Zeichen
        {   // im string text_str kein leerzeichen ist. Das ist so und somit wird der erste Buchstabe an den ersten string char gehängt. else if wird übersprungen und f wir um 1 erhöht. Diese Schleife wiederholt sich und wenn es ein leerzeichen gibt dann wird die else if schleife ausgeführt und x wird um 1 erhöht. Somit würde beim nächsten Durchlauf das zweite wort in word_str[1] abgespeichert. Das wiederholt sich ja alles bis die hauptforschleife nicht mehr erfüllt ist weil ix = die größe des strings text_str entsprechen würde. 
            word_str[x].push_back(text_str[f]);
        }

        else if(isspace(text_str[f]))
        {
            ++x;
        }

        ++f;
    }

    for(int i=0; i != 20; ++i)
    {
        cout << word_str[i] << endl; // hier werden die Wörter dann ausgegeben
    }

    return 0;
}