Einfach string ist an dieser Stelle unbekannt. "std::string" müsste es hier heissen

1. warum?
2. wie funktioniert das mit den namespaces überhaupt? ich blick da nicht durch!

void foo(); In Ordnung, foo existiert nicht

int foo; // Fehler: foo ist bereits der Name der Funktion

namespace bar
{
    void foo(); // In Ordnung: innerhalb dieses Namespace existiert foo nicht

    int foo; // Fehler: In diesem Namespace existiert bereits foo
}

namespace bar2
{
    void foo(); // In Ordnung: innerhalb dieses Namespace existiert foo nicht
}

int main()
{
    foo(); // Foo aus dem globalen Namespace
    bar::foo(); // Foo aus bar
    bar2::foo(); // Foo aus bar2
}

Weil häufig keine Namenskonflikte entstehen, kann man mit using namespace bar; einen kompletten Neamespace "einschalten", man muss dann nicht mehr bar::foo schreiben, sondern kann direkt foo verwenden.
Das führt allerdings zu Fehlern, wenn (wie im Beispiel) ein Namenskonflikt auftritt.

Die Standardbilbiothek nutzt dieses Verfahren, indem sie alles in den namespace std gepackt hat.
Entweder du schreibst vor jeder Funktion std:: oder nutzt using namespace std; um dir die Tipparbeit zu sparen (mache es trotzdem nicht!).

Edit: @TE: Ja, das ist richtig, mache mal Rechtsklick auf einen Std-Header, Header öffnen oder so (je nach IDE) und schaus dir selber an.

Der header sieht jetzt so aus:

#ifndef HEADER_H
#define HEADER_H
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <string>
// anderer kram
string laufzeit;
bool beenden = false;
ofstream ziel("laufzeit.txt");
int rechner(float, int, int, int);
#endif

Lerne den Unterschied zwischen Deklaration und Definition. Dann lies im Buch deiner Wahl die One-Definition-Rule nach. Dann wirst du verstehen, dass das, was du hier vor hast, Käse ist.

std::string laufzeit;
bool beenden = false;
std::ofstream ziel("laufzeit.txt");

Sind Definitionen, die in einem Header typischerweise nichts zu suchen haben. Möchtest du daraus Deklarationen machen, sieht das dann so aus:

extern std::string laufzeit;
extern bool beenden;
extern std::ofstream ziel;

Aber am besten gewöhst du dir gleich ab, so viele globale Variablen zu nutzen ...