#include <iostream>
#include <string>
#include <fstream>

using namespace std;

int main()
{

    string old = "ERSTENS==";
    string neu = "1.";

    string old2 = "ZWEITENS==";
    string neu2 = "2.";

    string old3 = "drittens=";
    string neu3 = "3.";

    ifstream filein("test.txt");
    ofstream fileout("neu.txt");
    if(!filein || !fileout)
    {
        cout << "Error !" << endl;
        return 1;
    }

    string change;

    while(filein >> change)
    {
        if(change == old) change = neu;
        else if(change == old2) change = neu2;
        else if(change == old3) change = neu3;

        change += " ";
        fileout << change;

   }

    return 0;
}

Textdatei test.txt

ERSTENS==netter Text
ZWEITENS== ein anderer Text
drittens=und noch mehr Text

Ausgabedatei neu.txt

ERSTENS==netter Text 2. ein anderer Text drittens=und noch mehr Text

Habt Ihr vielleicht eine Idee, wie es auch ohne Leerzeichen funktionieren könnte?

Im Moment liest du String für String ein - wobei immer bis zum nächsten Leerzeichen oder Zeilenende gelesen wird. Deshalb funktioniert es nur, wenn auf z. B. "ERSTENS==" ein Leerzeichen folgt, da du ja anschliessend den gesamten String mit == vergleichst.

Prüfe doch, ob der eingelesene Text mit deinem vorgegebenen String anfängt (den String zu ersetzen musst du dann anders machen, aber das findest du schon raus). Das kannst du mit std::string::find(..) machen. Vielleicht möchtest du mit std::getline(..) auch eher Zeilenweise einlesen?

Funktioniert es denn mit meinem Code überhaupt nicht?

Nein.

Am besten gibst du einmal Zwischenresultate aus - z. B. change , dann kannst du sehen mit was du old , old2 und old3 vergleichst.

Zusätzlich kannst du mit einem Debugger (z. B. Visual Studio, CodeBlocks, Eclipse...) den Code Anweisung für Anweisung durchgehen und dir die nötigen Überlegungen dazu anstellen.

// Edit

Mit std::getline(..) kannst du auch angeben, bis zu welchem Zeichen du lesen möchtest.