// Programm ermittelt größtmöglich darstellbaren Wert von integralen Datentypen

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
  int z1 = 0; // interne Darstellung: 16 od. 32 Nullen
  z1 = ~z1; // interne Darstellung von z1 nun: alles Einsen

  z1 = static_cast<unsigned int>(z1); // Der Datentyp von z1 wird zu unsigned z1  

  cout << z1 << endl; // größtmögliche unsigned-int-Zahl wird ausgegeben

  z1 = z1 >> 1; // grötmögliche signed-int Zahl...
  cout << z1; // ... wird ausgegeben

  cin >> z1; // Programm soll nicht nach Ausführung obiger Anweisungen schließen 
}

Die tatsächliche Ausgabe jedoch :
-1
-1

Wo liegt mein Fehler?

UINT_MAX + 1 == 0
bzw
0 - 1 == UINT_MAX.

Dann stellt sich die Frage: wie gebe ich einer bestehenden Variablen einen anderen Datentyp?

Gar nicht.

Vermutlich stellst du die falsche Frage. Du willst doch wohl eher wissen, wie du aus -1 einen unsigned int erzeugen kannst. Was mit der vorherigen Variable geschieht, kann dir doch egal sein, oder? Zwei mögliche Antworten darauf wären:

unsigned int z2 = z1;

So einfach kann es sein. Arithmetische Datentypen werden automatisch ineinander umgewandelt.
*  ```
static_cast<unsigned int>(z1)

So kannst du den Wert von z1 in einen unsigned umwandeln und damit rechnen. Was du bei dir falsch gemacht hast, ist, dass du den Wert danach gleich wieder einem (signed) int zugewiesen hast. Dabei wurde die Umwandlung sofort wieder rückgängig gemacht, siehe erste Methode.