Beim Button ist das Ironische: Der Buttonklick selbst wird nichtmal ausgeführt. Das Popup kommt anstelle des Buttonclicks. Man muss also zurück in den originalen Tab und den Button nochmal klicken.
(Also anders als auf vielen anderen Seiten, wo das Buttonevent einfach zusätzlich zu seiner normalen Augabe auch noch ein Popup öffnet.)

Oder wenn man einen Text in eine Textbox eingeben will: Ich klicke in die Textbox, Popup geht auf. Ich schließe das Popup und muss jetzt nochmal in die Textbox rein, um meine Eingabe zu tätigen.

Man kann bereits vorher schon richtig sehen, dass gleich ein Popup aufgehen wird:
Wenn man mit dem Mauszeiger auf die Textbox geht, verwandelt der Zeiger sich nicht vom Pfeil in dieses I-fömigen Texteingabesymbol, sondern bleibt ein Pfeil. Weil eben der Mauszeiger noch nicht auf die Textbox zeigt, sondern auf das darüberliegende unsichtbare JavaScript-Objekt, das man erstmal anklicken muss, damit der Weg auf die eigentliche Textbox freigelegt wird.

Manchmal kommt selbst beim zweiten Klick noch ein Popup und es funktioniert erst beim dritten.

Gibt es eine Möglichkeit im Firefox, diese speziellen "Klick öffnet neuen Tab, aber nicht als Buttonevent, sondern als über den Button gelegtes, separates Clickevent"-Elemente im Firefox auszustellen, aber JavaScript für alles andere anzulassen?

Probier mal das NoScript Addon.

Kann denn NoScript auch bestimmte Typen von JavaScript-Code blocken? Z.B. eben so ein bestimmtes Klick-Event?

Ich will ja nicht konkrete Seiten ganz blocken, sondern nur diese "Ich lege mich wie eine Glasscheibe über die Seite und wenn man einen Button oder eine Textbox anklicken will, klickt man in Wirklichkeit erstmal mich an"-Funktion.
Wenn die Seite an anderen Stellen anderen Code hat, soll der weiter funktionieren.

Ein weiteres problem besteht darin, dass verschiedenste seiten diese ganzen ad-events unterschiedlich handled. Da gibts leider keine einheitliche konvention, die pauschal alle mit einem schlag entmachtet.

Einige seiten verwenden divs ueber dem kompletten content, andere hard-coden die ersten document.click()'s direkt auf irgendwelchen ad-krams. Das wird also nicht unbedingt einfach. Aber fuer firefox gibts doch auch adBlocker...die sollten dann zumindest verhindern, das der scheiss in neuen tabs geoeffnet wird.

https://de.wikipedia.org/wiki/Clickjacking

NoScript kann so etwas erkennen und eine entsprechende Warnung ausgeben.

UBlockOrigin ist auch eine empfehlenswerte Erweiterung, erlaubt diese doch, bestimmte Elemente (und damit auch so ein überlagerndes) zu blockieren.

MfG SideWinder

Viel einfacher in der Bedienung, wenn es nur um das Loswerden von Werbung und anderen nervigen Dingen (EU-Cookie-Verordnung!) geht, ist ein Werbeblocker. Sungers Frage klingt so, als wäre eher dies gewünscht als das viel kompliziertere NoScript. Das funktioniert natürlich nur, wenn das Overlay Teil eines Werbenetzwerks ist, was der Beschreibung nach aber wohl der Fall sein dürfte.

Ganz hartnäckige Seiten hosten selber die Werbung/Werbeskripte/Nervskripte, da muss man dann mit Greasemonkey ran. Das habe ich bisher aber auch erst zweimal erlebt.

Greasemonkey muss ich mal ausprobieren.