5^x-3^x=16



  • Wie kann man die Gleichung 5^x - 3^x = 16 lösen?

    x=2 , kann man erkennen. Aber wie kann man die Gleichung auflösen?



  • @idefix

    Wie kann man die Gleichung 5^x - 3^x = 16 lösen?
    x=2 , kann man erkennen. Aber wie kann man die Gleichung auflösen?

    Ich fürchte von Hand geht da nichts.

    Aber einen kleinen Trick gibt es. Die 3 4 5 Regel (bzw. Satz des Pythagoras) besagt:

    3^2 + 4^2 = 5^2 <->
    3^2 + 16 = 5^2 <->
    es exist. ein x s.d. 3^x + 16 = 5^x <->
    es exist. ein x s.d. 5^x -3^x = 16

    Ferner erinnert mich die Gleichung an den großen fermatschen Satz.



  • @Quiche-Lorraine Spannend. Ich habe von einer 3-4-5-Regel noch nie etwas gehört. Ich kenne 3-4-5 aber sehr wohl als "pythagoreisches Tripel". Was sagt die 3-4-5-Regel denn genau? Ein erstes googles hat nichts vernünfiges Ergeben (sind die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, aber das gilt ja für alle pyth. Tripel - daher ergibt es ja wenig Sinn, für genau eines davon eine Regel aufzustellen, die auf für alle anderen Tripel gelten würde).

    x=2 ist hier eine offensichtliche Lösung, wie schon geschrieben. Ansonsten kann man noch leicht nachweisen, dass es keine weiteren Lösungen gibt (zumindest nicht in R\mathbb R, vielleicht geht da was in C\mathbb C, keine Ahnung). Aber es gibt keine direkte Formel, die für den allgemeinen Fall einer Gleichung ax+bx+c=0a^x + b^x +c = 0 funktioniert.



  • @wob

    Aber es gibt keine direkte Formel, die für den allgemeinen Fall einer Gleichung ax+bx+c=0a^x + b^x +c = 0 funktioniert.

    OK. Aber kann man die Gleichung exakt lösen ohne ausprobieren? Bzw. kann man 5x3x=175^x - 3^x = 17 oder 7x3x=167^x - 3^x = 16 exakt lösen? Wolfram Alpha scheint es nicht zu können.



  • @wob sagte:

    daher ergibt es ja wenig Sinn, für genau eines davon eine Regel aufzustellen, die auf für alle anderen Tripel gelten würde).

    Die 3-4-5 Regel ist eine praktische Anwendung des pythagoreisches Tripels. Wenn du beispielsweise einen rechten Winkel auf einem Rasen abstecken möchtest, um beispielsweise eine Grube für den geplanten Swimming-Pool auszuheben, so kannst du eine 12m lange Richtschnur nehmen, 3 Nägel in den entsprechenden 3-4-5 Abständen hineinknoten und du bekommst einen schönen rechten Winkel. (siehe auch Wiki Zwölfknotenschnur)



  • @hustbaer sagte in 5x-3x=16:

    OK. Aber kann man die Gleichung exakt lösen ohne ausprobieren? Bzw. kann man 5x3x=175^x - 3^x = 17 oder 7x3x=167^x - 3^x = 16 exakt lösen? Wolfram Alpha scheint es nicht zu können.

    Nein, das Problem ist hier, dass man die beiden Monome mit X zusammenfassen kann. Stünde da axbx=16a^x\cdot b^x = 16, wäre das kein Problem, da axbx=(ab)xa^x \cdot b^x=(a\cdot b)^x. So kann man zwar den Logarithmus nehmen, aber 5x3x=165^x-3^x=16 lässt sich zu 5x=3x+165^x =3^x +16 umstellen, und dann der Logarithmus ziehen. Das gibt dann x=log5(3x+16)x = log_5(3^x +16), und da kommt dann eigentlich nicht weiter. Was man für eine Näherung machen könnte ist es den rechten Term Taylor zu entwickeln.



  • Du kannst eine Kurvendiskussion durchführen, um zu zeigen, dass es nur eine Nullstelle gibt, die du kennst.


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