Variationsgleichung

Ich finde in einigen Büchernn, die ich zum Thema
Differentialgleichungen durchlese, den Begriff der
Variationsgleichung,

soweit ich das überblicken kann, wird dann nach den Anfangsbedinungen der ODE abgeleitet. Leider verstehe ich nicht, was das genau bringt, oder wieso man das tut.

(Ein Buch in dem das öfter vorkommt ist zb Structure-Preserving Geometrical Integration von Hairer/Wanner)

Wenn mir jemand erklären könnte worum es dabei genau geht, oder wozu man das braucht, wäre ich sher dankbar.

Auch einführende Bücher zu dem Thema

ScottZhang

Stell dir vor es gibt zwei Teilchen, die bekommen die Aufgabe sich zu bewegen, aber es gelten Regeln.
Das eine Teilchen, nennen wir es A, bekommt gesagt: "Hier hast du einen Kanister Benzin (Energie), achte gut auf ihn, denn der Inhalt ist beschränkt!". Teilchen A muss also aufpassen das es nicht mehr Benzin verbraucht als es bekommen hat. Und Teilchen A verbraucht dieses Benzin um sich zu bewegen.

Teilchen B bekomt einen unbeschränkten Vorrat an Benzin, aber bekommt auch gesagt: "Es gelte F = ma, nur so sollst du dich bewegen!". Teilchen B muss als in jedem schritt prüfen ob F=ma noch gilt.

So nun was tun die Teilchen? Teilchen A weiss um von einem Punkt zum anderen zu gelangen gibts viele Möglichkeiten, viele Wege führen nach Rom so zu sagen. Und Teilchen A muss aus all diesen Wegen den finden, wo es am wenigsten Benzin verbraucht (das Benzin ist genau bemessen). Teilchen A hat aber Erfahrung und wählt weise und pickt genau den einen Weg raus der passt.

Teiclhen B geht einfach los, und guckt nach jedem schritt wohin es sich wenden muss damit F=ma erfüllt ist.

Komsicher weise sind beide Teilchen am Ende den selben Weg gegangen. Sie haben das selbe Problem nur auf verscheidene Weise betrachtet.
Teilchen A hatte die "draufsicht". Aus allen Wegen hat es den ausgewählt der irgend eine Wirkung entlang des Pfades minimiert (hier der Benzinverbrauch). Um das zu können muss es natürlich alle Wege kennen, und wissen wieviel Benzin da man da verbraucht. Man möchte meinen es muss alle schon einmal abgegangen sein, also eher ein globale Sichtweise. Das ist ein Variationsproblem, minimierung einer Größe.
Teilchen B hatte die lokale Sicht es musste nur bei jeden Schritt (an jedem Punkt des Weges) drauf achten das es in die Richtung (und mit der Geschwindigkeit) weiter läuft so das F=ma danach auch noch gilt. Es hat also eine Differentialgleichung gelößt.

Beide Sichtweisen sind mit einander verbunden. Über die Euler-Lagrange Gleichungen. Man kann aus einem Variationsproblem
$0 = \delta W(x) = \delta \int \mathcal{L}(t,x,\dot{x}) dt$
ein Differentialgleichung
$\frac{d}{dt} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} = 0$
machen.
Das ist nett, denn das Integralmosnter da oben kann doch keine Sau lösen.