unendlichdimensionaler Vektorraum
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Hallo, das ist vielleicht einfach... aber nicht für mich...
-> Beweise dass |R ein unendlichdimensionaler Vektorraum über |Q ist. <-
Zum Beweis durch Widerspruch gehe ich davon aus, dass |R endlichdimensional über |Q ist (Dimension := n).
Dann kann jedes r e |R ausgedrückt werden als r=c_1*b_1 + ... + c_n*b_n
mit c_i e |Q und {b_1, b_2, ...b_n} eine Basis von |R über |Q.Jetzt will ich das zum Widerspruch führen, aber ich weiß nicht wie? Hat einer eine Idee?
Danke im Vorraus.
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dann müßte PI als c_1*b_1 + ... + c_n*b_n darstellbar sein.
mit einer hand voll + und * komm ich aber aus |Q nicht raus.
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Die Basisvektoren sind aber in R. 1*Pi = Pi, falls ich mal Pi als Basisvektor nehme. Zu zeigen ist, daß ich mit endlich vielen nicht auskomme.
@mathe:
Was habt ihr denn so gemacht? Was algebraisches, oder mehr was analytisches?
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Original erstellt von Jester:
@mathe:
Was habt ihr denn so gemacht? Was algebraisches, oder mehr was analytisches?algebraisches. den diagonalbeweis von Cantor kenn ich, falls der hier angebracht ist.
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Mathematiker, was ist |R?
Ganzeinfach: |R=Reelle Zahlen, d.h. sie können unendlich viele Kommastellen haben, diesichso nicht wiederholen. z.B. PI, PI ist eine Reelle Zahl.
Nehmen wirdiemal auseinander:
3,1428................
also wenn ihr mich fragt, |R ist ein "unendlichegroßer vektor".
und übrigens hat er recht mit "nur mit einer Hand voll+ und * kommst du aus |Q nicht raus", das ist nämlich wirklich so. |R hat nichts mit der Zahlengröße zu tun,sondern mit der Anzahl der Nachkommastellen.
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@Spieleprogrammierer: Würdest du dich bitte aus Mathematik-Threads raushalten?
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Spieleprogrammierer: Nimm dir doch bitte endlich mal den Rat zu Herzen, dich nur da einzumischen, wo du auch Ahnung von hast. Was du sagst mag richtig sein, aber es geht am Thema vorbei (kleiner Tipp: es war nach einem Beweis gesucht. "also wenn ihr mich fragt ist das offensichtlich so" ist kein Beweis)
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Hm, mir fällt so spontan nur eines ein:
Nehmen wir doch mal eine Q-Basis von R. Jetzt nehmen wir mal an sie hätte nur endlich viele Elemente, z.B. n Stück.
Das hieße aber der Vektorraum ist isomorph zu Q^n. Der scheint mir aber abzählbar zu sein, wogegen R das nicht ist.
Am besten Bijektion von
N --> N^n bauen und eine von N^n --> Q^n
sieht beides nicht so schwer aus. Oder einfach sagen es gilt.
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Kann man nicht einfach sagen, dass die Anzahl der Vektoren der Form c1*b1 + c2*b2 + ... + cn*bn (n fest, ci € Q, bi fest) zählbar ist, aber R überabzählbar?
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Original erstellt von Bashar:
Spieleprogrammierer: Nimm dir doch bitte endlich mal den Rat zu Herzen, dich nur da einzumischen, wo du auch Ahnung von hast. Was du sagst mag richtig sein, aber...Kein Aber, Widerspruch in sich!
Original erstellt von Bashar:
...aber...Nein! Kein Aber!
Original erstellt von Bashar:
Aber es geht am Thema vorbei!???
Im Thema geht es nur so um |R (Reelle Zahlen), aber ist dir ja scheinbar egal.
Edit: Dass du so ein Widerspruch eingebauthast, zeugt davon, dass du mal wieder versuchst mich fertig zu machen, also mich interessiert das mittlerweile nicht mehr, jedoch bezweifleich, dass es den moderatoren gefällt.
[ Dieser Beitrag wurde am 26.06.2003 um 19:24 Uhr von Spieleprogrammierer editiert. ]
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Es ist von unendlichdimensionalen Vektorräumen die Rede, nicht von 'hohen Zahlenbereichen'. Du hast überhaupt keine Ahnung von der Materie, gib einfach Ruhe.
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Nein, gib du ruhe.
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lass es.. du redest unsinn, und das wird dann nur peinlich.
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@Spieleprogrammierer:
Kannes sein, dass du ein wenig Infantil bist. Du hast ja nichtmals genug Ahnung von Mathe, um den Thread zu lesen, geschweigen denn eine Antwort zu geben:also wenn ihr mich fragt, |R ist ein "unendlichegroßer vektor".
Es geht nicht um die "Größe" des Vektors. Es geht um Dimensionen. Wenn du nicht mals das verstanden hast, vergiss es.
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@ich: Hast Du Dir mein Postin schon durchgelesen? Da steht genau das drin...
@Spieleprogrammierer:
reelle Zahlen können undenlich viele Kommastellen haben?
Was ist mit 1/3? hat auch unendlich viele Nachkommastellen, liegt trotzdem in QR ist ein "unendlicher Vektor"
was immer das heißen soll. Weißt Du was ein Vektor ist? Also mathematisch meine ich, nicht in irgendeiner Programmiersprache. Dann erklär mir doch bitte mal, wie ich R als Vektor auffassen kann.Und der Rest ist genauso am Thema vorbei.
Also spiel Dich hier nicht so auf.MfG Jester
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Original erstellt von Spieleprogrammierer:
**Mathematiker, was ist |R?Ganzeinfach: |R=Reelle Zahlen, d.h. sie können unendlich viele Kommastellen haben, diesichso nicht wiederholen. z.B. PI, PI ist eine Reelle Zahl.
Nehmen wirdiemal auseinander:
3,1428................
also wenn ihr mich fragt, |R ist ein "unendlichegroßer vektor".
und übrigens hat er recht mit "nur mit einer Hand voll+ und * kommst du aus |Q nicht raus", das ist nämlich wirklich so. |R hat nichts mit der Zahlengröße zu tun,sondern mit der Anzahl der Nachkommastellen.**
*plonk*
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Hallo, wen's interessiert: Hab noch ne zweite Lösung gefunden.
Man braucht dafür aber ne transzendente Zahl. Irgendeine von der man's halt weiß oder beweisen kann. Zum Beispiel Pi.Dann sind Pi, Pi^2, Pi^3,... Q-linear unabhängig.
Wären sie es nämlich nicht, dann hätte man ein Polynom in Q gefunden, das Pi annuliert. Damit wäre Pi aber algebraisch über Q. Widerspruch!
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sci.math, reingefallen Bashar :p
Trotzdem danke für die vielen Antworten, die Frage hat mich auch interessiert!
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Hmm. Lösungen gibt es ja schon.
Trotzdem hab ich eine Frage dazu.
Würde die Tatsache, dass es unendlich viele Irrationale Zahlen gibt, auch für einen Beweis ausreichen ?
Um die Irrationalen Zahlen als Linearkombination darstellen zu können, müsste man dann doch auch unendlich viele Irrationale Zahlen als Basisvektoren nehmen.
Das baut im Grunde auf Volkards Idee auf. Nur betrachtet man nicht nur PI sondern eben alle Zahlen aus |R \ |Q
[ Dieser Beitrag wurde am 27.06.2003 um 20:44 Uhr von space editiert. ]
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Nein, das genügt nicht. Du müßtest auch noch nachweisen, daß Du mit endlich vielen nicht auskommst. Sprich: Es ist nicht möglich mit endlich vielen alle zu kombinieren.
Der R^3 ist ja "unendlich groß", trotzdem genügt es mir 3 Vektoren als Basis anzugeben.
Man muß sich bei solchen Vektorräumen, gerade Körper über Teilkörper immer wieder klar machen, was Vektoren und was skalare sind.
In diesem Fall: Skalare in Q, Vektoren in R. Das heißt, die Vektoren aus R dürfen nur addiert, nicht aber multipliziert werden bzw. halt nur mit skalaren, d.h. Werten aus Q. Alleine die Tatsache, daß es unendlich viele Elemente gibt sag noch nicht aus, daß man diese nicht mit endlich vielen Vektoren linear-kombinieren kann.
Hoffe, das ist ein bißchen klarer geworden.
Selbstverständlich kann man auch mit dieser Methode versuchen nen Beweis zu konstruieren, zum Beispiel den ersten mit der Überabzählbarkeit, der greift im Prinzip auf dieses Argument zurück. Die "Idee" von volkard greift hier nicht, weil er die Basisvektoren auch in Q gewählt hat.
MfG Jester
