Matherätsel! 0.999... == 1

[finix]

toostuff schrieb:

allein der versuch etwas mit einem system zu beschreiben, was wir uns selbst nicht vorstellen können (unendlichkeit) muss schief gehen, und in dem fall äußert es sich halt in dieser glaubensfrage 0.99=1, ja oder nein?

Nein, es ist keine Glaubensfrage. Die Zahl 0,9... - und es ist ein einziger Wert, kein unendlicher Prozess - ist, in Bezug auf die reellen Zahlen, ganz einfach definiert als der Grenzwert der unendlichen Reihe 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...

Und das Konzept der Unendlichkeit ist alles andere als unvorstellbar.

[DEvent]

Ich höre heute noch ihr "Naja, wenn Du 1-0,999... ausrechnest, dann kommt dir eben 0 komma unendlich oft 0 und dann noch ein Einser gaaanz am Ende heraus".

LOL, am Ende von was kommt die 1? Am Ende der Unendlichkeit

[mantiz]

Ich denke das Problem ist, dass sich viele Leute Unendlich als irgendeine Zahl (wie gross auch immer) vorstellen, aber wenn dies so ist, dann wäre:

[e]infin[/e] / [e]infin[/e] = 1

Wir wissen aber, dass ∞ - 1 = ∞ ist, daraus würde folgen:

[e]infin[/e] / [e]infin[/e] = ([e]infin[/e] - 1) / [e]infin[/e] = ([e]infin[/e] / [e]infin[/e]) - (1 / [e]infin[/e]) = 1 - (1 / [e]infin[/e]) != 1

da von 1 ja auf jeden Fall etwas abgezogen wird, zwar etwas unendlich kleines, aber es wird etwas abgezogen. Wir wissen aber, dass (1 / ∞) gegen Null läuft, demnach wäre 1 - (1 / ∞) = 1 - 0 = 1. Da 1 / ∞ quasi mit 0 gleichzusetzen ist, kann man auch 0,999... = 1 setzen.

Soweit zumindest meine Vorstellung.

Denn die einzige Zahl, die evtl. zwischen 0 und 1 / ∞ liegt wäre 1 / (∞ + x), was wiederum gleich ist mit 1 / ∞ (x irgendeine positive Zahl). Gleiches würde bei 0,999... gelten.

// Edit:
Da fällt mir gerade noch ein:
Wenn 0,999... != 1, dann müsste 0,999... + 0,0...01 = 1 sein, also in Worten Null Komma unendlich oft die Null und dann Eins. Wenn ich aber Unendlich oft die Null als Nachkommastelle habe, dann erreiche ich die 1 an der Nachkommastelle "unendlich + 1" niemals, da ich nicht weiter als unendlich komme. Wenn ich irgendwie auf die 1 "hinter unendlich" zugreifen könnte, dann würde das bedeuten, dass unendlich doch endlich wäre, was einen Widerspruch darstellt, oder liege ich hiermit falsch?

[Bashar]

mantiz schrieb:

Ich denke das Problem ist, dass sich viele Leute Unendlich als irgendeine Zahl (wie gross auch immer) vorstellen

Das kann ich mir nicht vorstellen. Zu jeder Zahl gibt es auch immer eine größere, z.B. zu jeder natürlichen einen Nachfolger, das sollte wohl jedem klar sein. Ich denke eher, dass manche Leute sich unendlich nur als einen nie endenden Prozess vorstellen. D.h. 0,99... ist zwar die Reihe 0,9 + 0,09 + ..., aber da der Prozess dieser Aufsummierung nie die 1 erreicht, ist 0,99... auch nicht gleich 1. Der Grenzwert stellt aber eine fiktive Vollendung dieses Prozesses dar, also ein abgeschlossenes Unendlich, und diese Möglichkeit muss man erstmal akzeptieren können.

[mantiz]

hm, da stellt sich mir gerade folgende Frage:
Wenn 0,999... != 1 ist, dann müsste es eine Zahl geben, die folgendermaßen aussieht:
1 - 0,999..., was demnach 0,00..001 wäre, also 0 Komma Periode 0 und dann 1. Grenzwertprozesse mal außer Acht gelassen, wie kann es eine solche Zahl geben?

Kann ja sein, dass ich jetzt gerade total quer denke, aber irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass es eine solche Zahl geben kann. Denn die Periode besagt ja, dass diese Zahlenfolge (hier nur die "0") niemals endet. Bzw. die Zahl 0,00...001 gibt es in der Realität gar nicht und ist nur ein Gedankenkonstrukt, damit genau obige Gleichung erfüllt ist.

[nman]

TGGC schrieb:

Das hat deine _Mathelehrerin_ behauptet?

Jup. Lustigerweise wusste es mein Lateinlehrer besser.

[Jester]

toostuff schrieb:

Jester schrieb:

Ja, gleich das erste Posting enthält einen solchen Beweis, nämlich daß 0.999... = 1 ist. Daraus folgt natürlich direkt, daß keine Zahl echt dazwischen liegt.

daraus folgt höchstens indirekt dass keine zahl dazwischen liegt, ein beweis ist das für mich noch nicht

Inwiefern beweist es das nicht? Wenn die gleich sind, was sollte dann noch echt dazwischen liegen? Nix. Also ist es ein einwandfreier Beweis.

@mantiz: Deine Rechnung mit ∞ ist zwar sehr intuitiv und im Prinzip auch richtig. Die Zahl müßte so aussehen, wie Du's beschrieben hast. Und das kann es logischerweise nicht geben. Anschaulich ist das sehr schön, wenn ich's abgeben sollte würde ich's aber stärker formalisieren und ohne das Rechnen mit "unendlich" auskommen wollen.

Wir können das auch mal ganz formal machen und einfach aus rechnen was 0.999... eigentlich ist:

$x = \frac{1}{10} \cdot \sum_{i=0}^\infty 9 \cdot 10^{-i} = \frac{1}{10} \cdot \sum_{i=0}^\infty \left( \frac{9}{10} \right)^{i} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{1-\frac{9}{10}} = \frac{1}{10} \cdot 10 = 1$

[toostuff]

ihr könnt euch unendlichekit vorstellen? also mein voller respekt.

[Jester]

Sag ich doch, außer ein paar Phrase á la "Ich verstehe nix davon, also könnt ihr's auch nicht verstehen und das ist alles quatsch" kommt da meist nicht viel. Schade.

[Walli]

toostuff schrieb:

ihr könnt euch unendlichekit vorstellen? also mein voller respekt.

Wodurch stellt man fest, dass man sich wirklich Unendlichkeit vorstellen kann?

[Bashar]

Was würde es helfen, sich Unendlichkeit vorstellen zu können? Mathematik funktioniert letztendlich hauptsächlich deshalb, weil man mit Abstraktionen arbeitet. Sonst wär sie noch nicht über eins, zwei, viele hinausgekommen.

[finix]

toostuff schrieb:

ihr könnt euch unendlichekit vorstellen? also mein voller respekt.

Ich kann mir gut vorstellen dass du nicht weißt wovon du sprichst. Was meinst du mit "[U]nendlichkeit vorstellen"?

[toostuff]

[quote="Bashar"]Was würde es helfen, sich Unendlichkeit vorstellen zu können? Mathematik funktioniert letztendlich hauptsächlich deshalb, weil man mit Abstraktionen arbeitet. Sonst wär sie noch nicht über eins, zwei, viele hinausgekommen.[/quote]

das hab ich auch nie bestritten und ohne mathematik würde auch unsere gesellschaft so nicht existieren.

[quote="finix"]
"[U]nendlichkeit vorstellen"?[/quote]

was ist daran so schwer zu verstehen, ich bezweifel das sich hier irgendwer eine unendlich lange zahl vorstellen kann?! und das ist der punkt, wir beschreiben für uns mit dem geschlossenen system mathematik die unendlichkeit. aber wie will man sowas überprüfen?

[Walli]

toostuff schrieb:

aber wie will man sowas überprüfen?

Wie will man überprüfen, dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat?

[Daniel E.]

toostuff schrieb:

was ist daran so schwer zu verstehen, ich bezweifel das sich hier irgendwer eine unendlich lange zahl vorstellen kann?!

Naja, bei mir hört es da schon etwas früher auf. Ich kann mir auch 3 nicht vorstellen, sqrt(2) nicht, pi nicht. Ich kann mir ganz banale Zahlen nicht vorstellen. Ich kann aber verstehen, daß drei Streichhölzer und vier Streichhölzer zusammen sieben Streichhölzer geben und daß drei Wurstsemmeln und vier Wurstsemmeln sieben Wurstsemmeln geben. So kann ich kleine natürlich Zahlen "verstehen", wenn man so will: ich stelle mir immer vor, ich rechne mit Wurstsemmeln. Das bringt mich aber auch nicht weiter, wenn ich mir 10^100 vorstellen soll. Das wäre eine Zahl, die so groß ist, daß sie vermutlich nicht in Wurstsemmeln vorstellen kann. Nicht mal in Atomen im Universium vielleicht. Also gibt es 10^100 nicht? Ist doch Schmarrn.

sqrt(2) hat auch im Dezimalsystem unendlich viele Stellen und ich kann mir das deswegen nicht vorstellen. vorstellen kann ich mir aber die Seitenlänge eines Quadrats mit Fläche 2. So what?

pi ist noch schlimmer. Kann sich jemand pi vorstellen? Wie groß ist so ein pi, welche Farbe hat es, kann ein pi fliegen? Wie stellst Du dir so etwas vor.

und das ist der punkt, wir beschreiben für uns mit dem geschlossenen system mathematik die unendlichkeit. aber wie will man sowas überprüfen?

Wie will man überprüfen, ob die Gesetze der Addition für Zahlen > 10^100 noch funktionieren? Streichhölzer hintereinanderlegen tut's nicht mehr.

Das ist doch gerade der Punkt: ich definiere mir ein paar Sachen und treibe damit meine Späße. Nein, ich kann nicht beweisen, daß die Gesetze der Addition für 10^100 noch richtig sind. So what? Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, Additionen sagt mir, wie ich einen solchen Nachfolger finde. That's it. Wenn sich Streichhölzer irgendwann nicht mehr so verhalten, dann ist mir das egal. Ich bin von den Streichhölzern weg. Ich arbeite mit der Abstraktion "Natürliche Zahl", die in der Natur so meinetwegen nicht vorkommt, sondern nur dazu genutzt werden kann, bestimmte Vorgänge zu beschreiben.

Reelle Zahlen genau so: "gibt" es überhaupt so etwas, wie reelle Zahlen in der Natur? Mir egal, ich habe mir reelle Zahlen definiert und dann arbeite ich damit.

Mathematik ist nicht die Wissenschaft des Richtigen, sondern des Folgerichtigen. Ich habe ein paar Grundannahmen und daraus kann ich verschiedene Schlüße ziehen. Gut, man kann kein System bauen, das hinreichend mächtig und vollständig ist, Gödelscher Unvollständigkeitssatz. Ich kann aber trotzdem richtige Schlüße ziehen. Es gibt auch einen Vollständigkeitssatz von Gödel.

[Jester]

Naja, was heißt überprüfen. Das ganze basiert auf gewissen Annahmen, nämlich Axiomen. Die sind meist so einfach, daß man sie gerne glaubt. Und daraus leitet sich alles weitere ab. Unter Annahme dieser Axiome ist 0.999... = 1.

Sich darüber zu Unterhalten wie es nun "in Wirklichkeit" ist, ist nicht wirklich sinnvoll. Viele Aussagen kann man erst treffen wenn man sich über ein paar Grundannahmen geeinigt hat. Was soll denn überhaupt ne reelle Zahl sein etc.

Beispielsweise gibt's die Peano-Axiome, die sagen was die natürlichen Zahlen sind und wie die funktionieren. Die sind sehr einfach und beschreiben genau das, was wir uns drunter vorstellen. Aber ob das der Wirklichkeit entspricht können wir natürlich nicht wirklich sagen. Mit den Peano-Axiomen und ner darauf basierenden Definition von + kann man leicht nachrechnen, dass 10000000000 Äpfel + 10000000000 Äpfel = 20000000000 Äpfel sind. Prima. Dennoch hat noch nie jemand überprüft (so vermute ich), ob das in Wirklichkeit auch so funktioniert. Vermutlich schon. Zumindest sind die Resultate plausibel, es paßt mit unserer Vorstellung zusammen und es sind noch keine Widersprüchlichkeiten aufgetreten.

[Gast]

Walli schrieb:

toostuff schrieb:

aber wie will man sowas überprüfen?

Wie will man überprüfen, dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat?

Chuck Norris counted to infinity - twice.

[Gast]

So - dann hätt' ich mal 'ne Frage:

wenn 0.999... = 1 ist, dann ja auch das Quadrat.
Der Ausdruck 0.999 - 0.999^2 sollte also Null sein.
Gehen wir jetzt mal in die Summendarstellung.

dann ist 0.999... - 0.999...^2
= 9/10 + 9/100 + ... = 99/100 + 99/10000 + ...
minus
81/100 + 81/10000 + ...

das ist
18/100 + 18/10000 + ...
= 0.181818...

und - da ist ja wohl nix falsch dran!
Was nun?
Das Resultat sagt eindeutig, dass 0.999... kleiner als 1 ist, denn nur dann erhalte ich ein positives Ergebnis.
Sagt nur nicht, ich dürfte 0.999 nicht quadrieren - dann darf ich es auch nicht mal 10 nehmen...

Ich denke, dass dies ein absoluter legaler Beweis dafür ist, dass es nicht 1 ist! (ein sehr schöner sogar )
Tja... Jeeeeeeester....help

[SG1]

Bitsy schrieb:

minus
81/100 + 81/10000 + ...

Quadrieren sollte man schon richtig.

[Bashar]

Bitsy schrieb:

dann ist 0.999... - 0.999...^2
= 9/10 + 9/100 + ... = 99/100 + 99/10000 + ...
minus
81/100 + 81/10000 + ...

Aber dass 0.999..² größer sein müßte als 0.99² = 0.9801, darüber sind wir uns doch einig?