Wie viele Götter gibt es?
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Mr. N schrieb:
Nein. Es gibt mehr Bruchzahlen als natürliche Zahlen, richtig? Dennoch ist die menge der Bruchzahlen abzählbar.
(Lies das Zeug doch bitte einfach mal in Wikipedia nach.)okay, aber wiki sagt: Eine Menge ist also genau dann überabzählbar, wenn ihre Mächtigkeit (Anzahl ihrer Elemente) größer ist als die der Menge der natürlichen Zahlen.
demnach sollte die menge der bruchzahlen nicht abzählbar sein, weil es mehr davon gibt, als natürliche zahlen.
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Undertaker schrieb:
Mr. N schrieb:
Nein. Es gibt mehr Bruchzahlen als natürliche Zahlen, richtig? Dennoch ist die menge der Bruchzahlen abzählbar.
(Lies das Zeug doch bitte einfach mal in Wikipedia nach.)okay, aber wiki sagt: Eine Menge ist also genau dann überabzählbar, wenn ihre Mächtigkeit (Anzahl ihrer Elemente) größer ist als die der Menge der natürlichen Zahlen.
demnach sollte die menge der bruchzahlen nicht abzählbar sein, weil es mehr davon gibt, als natürliche zahlen.Du kannst aber genau jeder Bruchzahl genau eine natuerliche Zahl zuordnen (was auch die Definition von Gleichmaechtigkeit ist). Wie das geht, hat Cantor gezeigt: http://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Diagonalisierung
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Mr. N schrieb:
Bashar schrieb:
Das folgt doch daraus schon.
Nicht wirklich.
(Hast du so wie this->that zufällig auch das "nicht" überlesen?)
Nein, ich habe das Wörtchen bijektiv überlesen.
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Doktor Prokt schrieb:
Ich biete folgende Zusammenfassung an:
f: N -> X, injektiv => |X| >= |N| f: N -> X, surjektiv => |X| <= |N| f: N -> X, bijektiv => |X| = |N|Das nur über die Mächtigkeit der Werte- und Bildbereiche zu definieren halte ich für kritisch.
Edit: Naja, außer Du schreibst dabei, dass X und N endlich sind. :>
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Hexa schrieb:
Das nur über die Mächtigkeit der Werte- und Bildbereiche zu definieren halte ich für kritisch.
Edit: Naja, außer Du schreibst dabei, dass X und N endlich sind. :>
Wo ist das Problem, wenn X oder N unendlich sind? Die Ordnung zwischen den Kardinalitäten ist m.W. gerade über die Existenz von injektive, surjektiven bzw. bijektiven Abbildungen definiert, also alles andere als kritisch.
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Undertaker schrieb:
demnach sollte die menge der bruchzahlen nicht abzählbar sein, weil es mehr davon gibt, als natürliche zahlen.
Es gibt gleich viele.
Und "nicht abzählbar" ist eine schlechte Bezeichnung, denn endliche Mengen sind ebenfalls nicht abzählbar, nach gängiger Definition
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Theston schrieb:
Undertaker schrieb:
demnach sollte die menge der bruchzahlen nicht abzählbar sein, weil es mehr davon gibt, als natürliche zahlen.
Es gibt gleich viele.
Und genau diesen Punkt verstehe ich nicht.
Betrachten wir mal das Intervall [n,n+1] n element N. in diesem Intervall gibt es genau 2 Natürliche Zahlen, aber unendlich viele Bruchzahlen. Es gibt also mehr Bruch- als natürliche zahlen.
Wenn man nun ein Intervall [0,∞] betrachtet, besteht dies aus unendlich vielen Teilintervallen [n,n+1] bei dem für jedes Intervall gilt, dass es 2 natürliche und ∞ Bruchzahlen gibt.
Wieso gibt es nun genausoviele natürliche wie Bruchzahlen, oder anders gefragt: welche Zahlenmenge hat denn überabzählbar viele Elemente?
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otze schrieb:
Es gibt also mehr Bruch- als natürliche zahlen.
Falsch. n und n+1 sind auch Bruchzahlen. Aber selbst wenn sies nicht wären, wären Bruch- und natürliche Zahlen immer noch gleich mächtig.
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otze schrieb:
Theston schrieb:
Undertaker schrieb:
demnach sollte die menge der bruchzahlen nicht abzählbar sein, weil es mehr davon gibt, als natürliche zahlen.
Es gibt gleich viele.
Und genau diesen Punkt verstehe ich nicht.
Betrachten wir mal das Intervall [n,n+1] n element N. in diesem Intervall gibt es genau 2 Natürliche Zahlen, aber unendlich viele Bruchzahlen. Es gibt also mehr Bruch- als natürliche zahlen.
Wenn man nun ein Intervall [0,∞] betrachtet, besteht dies aus unendlich vielen Teilintervallen [n,n+1] bei dem für jedes Intervall gilt, dass es 2 natürliche und ∞ Bruchzahlen gibt.
Wieso gibt es nun genausoviele natürliche wie Bruchzahlen, oder anders gefragt:
Es gibt aber abzählbar vieler solcher Intervalle, du kannst also, um einen Bruch in diesem Intervall zu "zählen", eine natürliche Zahl aus einem anderen Intervall nehmen, die werden dir, bildlich gesprochen, "nie ausgehen".
otze schrieb:
welche Zahlenmenge hat denn überabzählbar viele Elemente?
Jedes relle Intervall z.B.
Wann immer du eine "Zählung" der rellen Zahlen in einem Intervall hast, kannst du dir sicher sein, dass du eine nicht erwischt hast
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otze schrieb:
Und genau diesen Punkt verstehe ich nicht.
Betrachten wir mal das Intervall [n,n+1] n element N. in diesem Intervall gibt es genau 2 Natürliche Zahlen, aber unendlich viele Bruchzahlen. Es gibt also mehr Bruch- als natürliche zahlen.
Es geht aber nunmal um die Gesamtheit aller natürlichen Zahlen.
Wieso gibt es nun genausoviele natürliche wie Bruchzahlen, oder anders gefragt: welche Zahlenmenge hat denn überabzählbar viele Elemente?
Das sind zwei verschiedene Fragen. Die erste: Es gibt nicht "genauso viele", das ist nur eine saloppe Sprechweise für "N und Q sind gleichmächtig", was daran liegt, dass es eine bijektive Abbildung zwischen N und Q gibt. Zur zweiten Frage: Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar.
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Bashar schrieb:
Es gibt nicht "genauso viele", das ist nur eine saloppe Sprechweise für "N und Q sind gleichmächtig"
Das ist die übliche Definition für "gleich viele"...
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@ Theston
Wann immer du eine "Zählung" der rellen Zahlen in einem Intervall hast, kannst du dir sicher sein, dass du eine nicht erwischt hast
aber das gilt doch auch schon für Q.
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otze schrieb:
@ Theston
Wann immer du eine "Zählung" der rellen Zahlen in einem Intervall hast, kannst du dir sicher sein, dass du eine nicht erwischt hast
aber das gilt doch auch schon für Q.
Nein.
http://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Diagonalisierung
http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zweites_DiagonalargumentWie ich (neben anderen) schrieb, zu jeder rationalen Zahl findest du immer eine natürliche Zahl, die diese eindeutig zuordnet, bei rellen geht das nicht.
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Theston schrieb:
Das ist die übliche Definition für "gleich viele"...
Das ändert nichts an meiner Aussage.
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Bashar schrieb:
Theston schrieb:
Das ist die übliche Definition für "gleich viele"...
Das ändert nichts an meiner Aussage.
Du kannst natürlich "gleich viele" aus der mathematischen Umgebung bannen, oder nur auf endliche Mengen anwenden, den Sinn dahinter seh ich aber nicht.
Um mal die nette Analogie meines LA-Professors dazu anzubringen:
Wie findet ein Kind heraus, dass zwei Mengen "gleich viele" Elemente haben?
Es legt sie nebeneinander und guckt nach, es bildet also eine Bijektion.
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Ich glaub es gibt nicht viele Foren, wo eine Diskussion über Götter zu einer Diskussion über Mengen wird.
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Wenn das so klar ist, wäre man wohl schon vor Cantor darauf gekommen.
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Bashar schrieb:
Wenn das so klar ist, wäre man wohl schon vor Cantor darauf gekommen.
Was ist "so klar"?
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Dass man die Anzahl der Elemente zweier Mengen durch gegenseitige Zuordnung vergleichen kann.
BTW ist das die ödeste Diskussion, die ich seit langem hier hatte.
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Bashar schrieb:
Dass man die Anzahl der Elemente zweier Mengen durch gegenseitige Zuordnung vergleichen kann.
Wenn Cantor als erster den "Mengen"-Begriff in die Mathematik einführt, ist er natürlich auch der erste, der dies mathematisch beschreiben kann...
Ich find sie auch sehr öde
Aber "gleich viele" im mengentheoretischen Sinn ist nunmal über Gleichmächtigkeit definiert, du kannst mir gern deine Definition dafür nennen.
Wenn man vor Cantor nicht die mathematischen Mittel dafür hatte, konnte man sie natürlich auch nicht mathematisch definieren...