Wie viele Götter gibt es?
-
otze schrieb:
Es gibt also mehr Bruch- als natürliche zahlen.
Falsch. n und n+1 sind auch Bruchzahlen. Aber selbst wenn sies nicht wären, wären Bruch- und natürliche Zahlen immer noch gleich mächtig.
-
otze schrieb:
Theston schrieb:
Undertaker schrieb:
demnach sollte die menge der bruchzahlen nicht abzählbar sein, weil es mehr davon gibt, als natürliche zahlen.
Es gibt gleich viele.
Und genau diesen Punkt verstehe ich nicht.
Betrachten wir mal das Intervall [n,n+1] n element N. in diesem Intervall gibt es genau 2 Natürliche Zahlen, aber unendlich viele Bruchzahlen. Es gibt also mehr Bruch- als natürliche zahlen.
Wenn man nun ein Intervall [0,∞] betrachtet, besteht dies aus unendlich vielen Teilintervallen [n,n+1] bei dem für jedes Intervall gilt, dass es 2 natürliche und ∞ Bruchzahlen gibt.
Wieso gibt es nun genausoviele natürliche wie Bruchzahlen, oder anders gefragt:
Es gibt aber abzählbar vieler solcher Intervalle, du kannst also, um einen Bruch in diesem Intervall zu "zählen", eine natürliche Zahl aus einem anderen Intervall nehmen, die werden dir, bildlich gesprochen, "nie ausgehen".
otze schrieb:
welche Zahlenmenge hat denn überabzählbar viele Elemente?
Jedes relle Intervall z.B.
Wann immer du eine "Zählung" der rellen Zahlen in einem Intervall hast, kannst du dir sicher sein, dass du eine nicht erwischt hast
-
otze schrieb:
Und genau diesen Punkt verstehe ich nicht.
Betrachten wir mal das Intervall [n,n+1] n element N. in diesem Intervall gibt es genau 2 Natürliche Zahlen, aber unendlich viele Bruchzahlen. Es gibt also mehr Bruch- als natürliche zahlen.
Es geht aber nunmal um die Gesamtheit aller natürlichen Zahlen.
Wieso gibt es nun genausoviele natürliche wie Bruchzahlen, oder anders gefragt: welche Zahlenmenge hat denn überabzählbar viele Elemente?
Das sind zwei verschiedene Fragen. Die erste: Es gibt nicht "genauso viele", das ist nur eine saloppe Sprechweise für "N und Q sind gleichmächtig", was daran liegt, dass es eine bijektive Abbildung zwischen N und Q gibt. Zur zweiten Frage: Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar.
-
Bashar schrieb:
Es gibt nicht "genauso viele", das ist nur eine saloppe Sprechweise für "N und Q sind gleichmächtig"
Das ist die übliche Definition für "gleich viele"...
-
@ Theston
Wann immer du eine "Zählung" der rellen Zahlen in einem Intervall hast, kannst du dir sicher sein, dass du eine nicht erwischt hast
aber das gilt doch auch schon für Q.
-
otze schrieb:
@ Theston
Wann immer du eine "Zählung" der rellen Zahlen in einem Intervall hast, kannst du dir sicher sein, dass du eine nicht erwischt hast
aber das gilt doch auch schon für Q.
Nein.
http://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Diagonalisierung
http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zweites_DiagonalargumentWie ich (neben anderen) schrieb, zu jeder rationalen Zahl findest du immer eine natürliche Zahl, die diese eindeutig zuordnet, bei rellen geht das nicht.
-
Theston schrieb:
Das ist die übliche Definition für "gleich viele"...
Das ändert nichts an meiner Aussage.
-
Bashar schrieb:
Theston schrieb:
Das ist die übliche Definition für "gleich viele"...
Das ändert nichts an meiner Aussage.
Du kannst natürlich "gleich viele" aus der mathematischen Umgebung bannen, oder nur auf endliche Mengen anwenden, den Sinn dahinter seh ich aber nicht.
Um mal die nette Analogie meines LA-Professors dazu anzubringen:
Wie findet ein Kind heraus, dass zwei Mengen "gleich viele" Elemente haben?
Es legt sie nebeneinander und guckt nach, es bildet also eine Bijektion.
-
Ich glaub es gibt nicht viele Foren, wo eine Diskussion über Götter zu einer Diskussion über Mengen wird.
-
Wenn das so klar ist, wäre man wohl schon vor Cantor darauf gekommen.
-
Bashar schrieb:
Wenn das so klar ist, wäre man wohl schon vor Cantor darauf gekommen.
Was ist "so klar"?
-
Dass man die Anzahl der Elemente zweier Mengen durch gegenseitige Zuordnung vergleichen kann.
BTW ist das die ödeste Diskussion, die ich seit langem hier hatte.
-
Bashar schrieb:
Dass man die Anzahl der Elemente zweier Mengen durch gegenseitige Zuordnung vergleichen kann.
Wenn Cantor als erster den "Mengen"-Begriff in die Mathematik einführt, ist er natürlich auch der erste, der dies mathematisch beschreiben kann...
Ich find sie auch sehr öde
Aber "gleich viele" im mengentheoretischen Sinn ist nunmal über Gleichmächtigkeit definiert, du kannst mir gern deine Definition dafür nennen.
Wenn man vor Cantor nicht die mathematischen Mittel dafür hatte, konnte man sie natürlich auch nicht mathematisch definieren...
-
Na, definiert war's afaik schon. Cantor hat's nur als erster geschafft die Elemente geschickt nebeneinander zu legen.
-
Theston schrieb:
Aber "gleich viele" im mengentheoretischen Sinn ist nunmal über Gleichmächtigkeit definiert, du kannst mir gern deine Definition dafür nennen.
"gleich viele" würde ich gar nicht definieren. Den Begriff Anzahl würde ich nur für endliche Mengen defininieren, verallgemeinert würde ich formal immer den Begriff Kardinalität benutzen.
Da ich keine repräsentative Auswahl an Lehrbüchern zur Mengenlehre vorliegen habe -- Wikipedia stützt zwar meinen Standpunkt, wie ich gerade festgestellt habe, gilt aber nicht viel -- kann ich leider nichts dazu sagen, was die übliche Definition ist. Wenn das bei dir der Fall sein sollte, würde ich dich bitten, dass du die entsprechenden Definitionen zitierst, ansonsten würde ich vorschlagen, diese Diskussion hier mit unentschieden zu beenden.
-
Beutelspacher z.B. definiert "Gleichmächtigkeit" über eine bijektive Abbildung und erwähnt dabei explizit unendliche Mengen. Diese Definition nutzt er als Antwort auf die Frage, wann zwei Mengen "gleich viele" Elemente haben.
Ich stimme dir aber soweit zu, dass dieser Begriff keine wirkliche mathematische Relevanz hat, oder halt Beutelspacher-typisch eher eine populäre Definiton ist.
Ich hab jetzt leider keine Quellen, denke aber, dass die Idee der Bijektivität/des Nebeneinanderlegens auch schon vor Cantor als Beschreibung für eine gleiche Anzahl genutzt wurde.Irgendeine Vorstellung des populären Begriffs "gleich viele" musst du ja haben.
-
Diskussionen über mathematische Definitionen haben keinen Sinn. Jeder kann die Dinge so bennen wie er es will. Die müssen nur in sich schlüssig sein.
Als Beleg dafür fällt mir nur "die" Definition von Ringen ein. Manchen nehmen das multiplikativ neutrale Element in die Definition auf. Andere nicht.
-
Ich wollte auch nicht ernsthaft diskutieren, mich hat bloß interessiert, warum man "gleichmächtig" und "gleich viele Elemente beinhaltend" nicht als äquivalente Bezeichnungen ansieht