Wie viele Götter gibt es?
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Ich glaub es gibt nicht viele Foren, wo eine Diskussion über Götter zu einer Diskussion über Mengen wird.
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Wenn das so klar ist, wäre man wohl schon vor Cantor darauf gekommen.
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Bashar schrieb:
Wenn das so klar ist, wäre man wohl schon vor Cantor darauf gekommen.
Was ist "so klar"?
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Dass man die Anzahl der Elemente zweier Mengen durch gegenseitige Zuordnung vergleichen kann.
BTW ist das die ödeste Diskussion, die ich seit langem hier hatte.
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Bashar schrieb:
Dass man die Anzahl der Elemente zweier Mengen durch gegenseitige Zuordnung vergleichen kann.
Wenn Cantor als erster den "Mengen"-Begriff in die Mathematik einführt, ist er natürlich auch der erste, der dies mathematisch beschreiben kann...
Ich find sie auch sehr öde
Aber "gleich viele" im mengentheoretischen Sinn ist nunmal über Gleichmächtigkeit definiert, du kannst mir gern deine Definition dafür nennen.
Wenn man vor Cantor nicht die mathematischen Mittel dafür hatte, konnte man sie natürlich auch nicht mathematisch definieren...
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Na, definiert war's afaik schon. Cantor hat's nur als erster geschafft die Elemente geschickt nebeneinander zu legen.
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Theston schrieb:
Aber "gleich viele" im mengentheoretischen Sinn ist nunmal über Gleichmächtigkeit definiert, du kannst mir gern deine Definition dafür nennen.
"gleich viele" würde ich gar nicht definieren. Den Begriff Anzahl würde ich nur für endliche Mengen defininieren, verallgemeinert würde ich formal immer den Begriff Kardinalität benutzen.
Da ich keine repräsentative Auswahl an Lehrbüchern zur Mengenlehre vorliegen habe -- Wikipedia stützt zwar meinen Standpunkt, wie ich gerade festgestellt habe, gilt aber nicht viel -- kann ich leider nichts dazu sagen, was die übliche Definition ist. Wenn das bei dir der Fall sein sollte, würde ich dich bitten, dass du die entsprechenden Definitionen zitierst, ansonsten würde ich vorschlagen, diese Diskussion hier mit unentschieden zu beenden.
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Beutelspacher z.B. definiert "Gleichmächtigkeit" über eine bijektive Abbildung und erwähnt dabei explizit unendliche Mengen. Diese Definition nutzt er als Antwort auf die Frage, wann zwei Mengen "gleich viele" Elemente haben.
Ich stimme dir aber soweit zu, dass dieser Begriff keine wirkliche mathematische Relevanz hat, oder halt Beutelspacher-typisch eher eine populäre Definiton ist.
Ich hab jetzt leider keine Quellen, denke aber, dass die Idee der Bijektivität/des Nebeneinanderlegens auch schon vor Cantor als Beschreibung für eine gleiche Anzahl genutzt wurde.Irgendeine Vorstellung des populären Begriffs "gleich viele" musst du ja haben.
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Diskussionen über mathematische Definitionen haben keinen Sinn. Jeder kann die Dinge so bennen wie er es will. Die müssen nur in sich schlüssig sein.
Als Beleg dafür fällt mir nur "die" Definition von Ringen ein. Manchen nehmen das multiplikativ neutrale Element in die Definition auf. Andere nicht.
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Ich wollte auch nicht ernsthaft diskutieren, mich hat bloß interessiert, warum man "gleichmächtig" und "gleich viele Elemente beinhaltend" nicht als äquivalente Bezeichnungen ansieht