Generierung mischverteilter Zufallszahlen



  • Hallo,

    Wenn ich Zufallszahlen einer Mischverteilung generieren möchte, z.B. von

    tN1(μ1,σ12)+(1t)N2(μ2,σ22)t\cdot N_{1}\left(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}\right)+\left(1-t\right)\cdot N_{2}\left(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}\right)

    muss ich dann t als Wahrscheinlichkeit auffassen, oder ist es dann falsch?

    Falls es falsch ist, wie bekommt man dann in diesem Fall Stichproben der Grösse von 1?

    Es ergaben sich (bei der Implementierung von t als Wahrscheinlichkeit) folgende Histogramme für Mittelwerte der Stichproben der Grössen n=2 und n=3 und t=0.5.

    μ1=10\mu_{1}=-10, σ12=2\sigma_{1}^{2}=2
    μ2=10\mu_{2}=10, σ22=2\sigma_{2}^{2}=2

    Histo 1
    Histo 2

    Also bei einer ungemischten Normalverteilung erhält man ja N(μ,σ2n)N\left(\mu,\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}\right) für die Verteilung der Mittelwerte der Stichprobengrösse n.

    Wie kann man die Verteilung für das erste Beispiel herleiten? (Beim zweiten ging es über den Wikipedia-Artikel der Normalverteilung Kapitel Invarianz gegenüber Faltung.)

    Edit: Der erste Term ist denke ich nicht richtig geschrieben, da diese Gleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion verwendet wird (siehe Mischverteilung). Ich denke es ist aber vom Sinn her trotzdem verständlich. Die Frage kann ja dann noch weiter gehen, z.B. wie generiert man hyperexponentialverteilte Zufallszahlen (siehe Hyperexponentialverteilung), wobei dann viel mehr Verteilungen gemischt werden können.