Mathe

Hallo,

konvergiert die Reihe:

[Summe k=1 bis unendlich] sin(kx) wobei x ist eine Konstante Element R;

Wenn ja wie zeigt man das?

Winn

Für den Sin gibt es eine Potenzreihenentwicklung im Bronstein, daß als Ansatz könnte Dir eine Möglichkeit geben, ob die Reihen konvergiert oder nicht...

Gruß Winn

Jester

Nun, die Konvergenz hängt stark vom x ab.
Wenn eine Reihe konvergieren soll, dann muß zu allererst die Folge eine Nullfolge sein.

Das heißt, damit das Teil überhaupt konvergieren kann muß a_k : = sin(k*x) eine Nullfolge sein. Das scheint mir aber nur dann der Fall zu sein, wenn x ein vielfaches von Pi ist. Beweis sollte nicht allzuschwer sein.
Dann hast Du mal, daß es für x kein vielfaches von Pi auch nicht konvergieren kann.
Für x velfaches von Pi ist a_k aber die Folge, die nur aus Nullen besteht. Die Reihe darüber konvergiert und es kommt 0 raus.

MfG Jester

KONVERGIERT AUF KEINEN FALL!!!!!!!

Winn

Jester schrieb:

Nun, die Konvergenz hängt stark vom x ab.
Wenn eine Reihe konvergieren soll, dann muß zu allererst die Folge eine Nullfolge sein.

Konvergenz bedeutet nicht zwingend, daß der Endwert gegen die Null konvergiert, sondern sie muß gegen einen festen Zahlenwert konvergieren.

Gruß Winn

Wer den Esel vor sich treibt, muss seinen Furz ertragen.

Jester

Winn schrieb:

Konvergenz bedeutet nicht zwingend, daß der Endwert gegen die Null konvergiert, sondern sie muß gegen einen festen Zahlenwert konvergieren.
Gruß Winn

Aber es bedeutet, daß die Folge über die summiert wird zwingend gegen 0 gehen muß:

Wir betrachten die Reihe

lim Sum[i=0..n] a_n und sagen sie sei konvergent.

Dann ist a_n = Sum[i=0..n] - Sum[i=0..n-1].
Wenn Du jetzt auf beiden Seiten den Limes drüberziehst siehst Du, daß a_n gegen 0 geht.

MfG Jester

hallo,

Jester hat Recht!

Bei einer REIHE muss man eine Nullfolge haben um Konvergenz erzeugen zu können!
(Ist aber nicht ausreichend)

Es würde mir auch schon helfen, zu wissen ob es eine Regel gibt die etwas aussagt über:

Man hat [Summe k=1 bis unendlich] (ak)
ak ist irgendetwas dass die Summe absolut konvergieren lässt.

Ich habe nun:

[Summe k=1 bis unendlich] (ak) sin kx wobei x Konstant Element R;

[Summe k=1 bis unendlich] k(ak) cos kx wobei x Konstant Element R;

kann man etwas darüber aussagen(bezüglich der konvergenz)?

Die Reihe [Summe k=1...unendlich] (ak) sei absolut konvergent und die Folge (bk)sei beschränkt. => Auch die Reihe [Summe k=1...unendlich] (ak)*(bk) konvergiert absolut.

sin (k)*x würde doch die Bedingung von bk erfüllen, wenn x eine Konstante ist!
Oder irre ich mich?

Jester

Ja, das sollte funktionieren. Obige Aussage sollte sich übrigens irgendwie mit Majorantenkriterium beweisen lassen

Seien Sum a_k abs. konv., b_b beschränkt
(b_k) ist beschränkt, also:
Ex. s€R: |b_k| <= s für alle k€N

Sum[k=1..n] a_k*b_k <= Sum[k=1..n]|a_k*b_k| = Sum[k=1..n]|a_k|*|b_k| <= Sum[k=1..n]|a_k|*s = s* Sum[k=1..n]|a_k| konv. da a_k abs. kovergent.

=> Konvergenz nach Majorantenkriterium.
Aus dieser Ungleichung sieht man daß das ganze Teil konverigieren muß, und sogar absolut konvergiert.

MfG Jester

edit: Beweis wieder geändert, Jockelx hatte mich verwirrt

Ja das Verstehe ich jetzt.
[Summe k=1 bis unendlich] (ak) sin kx wobei x Konstant Element R;
sin kx wird als (bk) gesehen! OK, klar!

Das Problem ist nur , dass bei
[Summe k=1 bis unendlich] k(ak) cos kx wobei x Konstant Element R; #

Das k vor (ak) verhindert doch , dass (bk) beschränkt ist!
Wie kann ich zeigen , dass das trotzdem konvergiert?

Jester

Was weißt Du über das a_k? Davon hängt nämlich IMHO alles ab.

Ich krieg's gerade selber nicht auf die Reihe, deshalb nur ein paar
Anmerkungen:

Im Beweis von Jester:
Sum[k=1..n]|a_k*b_k| = Sum[k=1..n]|a_k|*|b_k|
Das kann man so nicht sagen, da b_k negativ seien kann.

Ausserdem:
Die cos-Reihe divergiert z.B. für x=2pi, da dann jedes Folgenglied = 1 ist.
Daher vermute ich, dass die Konvergenz bei beiden Reihen vom x abhängt.

Jockel

Jester

@Jockelx:
So, dann zeig mir mal ein Beispiel, bei dem der Betrag eines Produktes nicht das Produkt der beiden Einzelbeträge ist...
Meiner Meinung nach ist der Beweis korrekt.

Das hängt aber auch noch vom a_k ab. wenn a_k irgendwas wie 1/(k^2) ist, dann funktioniert es trotzdem. Deswegen wollte ich ja noch genauere Infos über die Aufgabenstellung.

@AndreasXXL:
Könntest Du uns einfach mal die ganze Aufgabenstellung verraten? Dann brauchen wir nicht immer dort wo's momentan zu schwammig ist rumraten wie's gemeint sein könnte.

MfG Jester

Also hier die ganze Aufgabenstellung!(Sorry wenn ich euch verwirrt habe)

Es sei (ak) eine Zahlenfolge, derart dass die Reihe
[Summe k=1 bis unendlich] k(ak) absolut konvergiert. Zeigen Sie:
Die Reihen

[Summe k=1 bis unendlich] (ak) sin kx

und

[Summe k=1 bis unendlich] k (ak) cos kx

konvergieren auf R gleichmäßig.
Außerdem zu zeigen: Für die Grenzfunktionen f bzw. g gilt: g = f'

Jester

Aha, es geht also garnicht um Konvergenz sondern um gleichmäßige Konvergenz... was die Reihe in Deiner allerersten Frage mit dieser Aufgabe zu tun hat kann ich leider nicht erkennen.

Also, daß die beiden Reihen kovergieren ist klar. Die entsprechenden Beweise wurden schon geliefert.

Gleichmäßige Konvergenz heißt, daß |Grenzfunktion - n-te Funktion| für alle x eine Nullfolge gibt, wenn ich mich recht erinnere.

Letzter Teil ist trivial. Bei gleichmäßger Konvergenz ist (Sum[i=1..n]f_i)' = Sum[i=1..n](f_i)'

MfG Jester

P.S.: Ohne Garantie, ist alles aus ca. 1 Jahr alter Erinnerung.

@Jester:
Offensichtlich hab ich Mist erzählt, bzgl. deines Beweises.
Aber das die cos(kx) Reihe nicht für jedes x konvergiert, ist
aber wohl trotzdem klar.

Jockel

So,

ich habe mir jetzt sogar noch die Mühe gemacht Dir die " Formel " rauszusuchen!

1. Definition:

Es sei D Teilmenge von R. Zu jedem k element N sei eine Funktion fk auf D gegeben. Die Funktionsfolge (fk) heißt punkteweise konvergent auf D, wenn für jedes x Element D die Zahlenfolge (fk(x)) konvergiert. Die dann durch

f(x)= lim (k->unendlich) fk(x), x Element D

definierte Funktion heißt Grenzfunktion der Funktionsfolge (fk), und man sagt, (fk) konvergiert punktweise gegen f. Völlig analoge Begriffsbildung trifft man für Funktionsreihen [Summe k=0... unendlich] fk.

2. Definition:

Unter den generellen Vorraussetzungen der vorangegangenen Definition heißt die Folge (fk) GLEICHMÄSSIG KONVERGENT gegen f, wenn zu jedem e > 0 ein
N Element N existiert mit |fk(x)-f(x)| < e für alle x Element D und alle k>=N.
Die Gleichmässigkeit der Konvergenz besteht darin, dass zu e > 0 existierende N Element N gleichmässig für alle x Element D gewählt werden kann. Eine gleichmässig konvergente Funktionsfolge konvergiert insbesondere punktweise.

@Jester: Kannst du bitte mal schauen, ob das stimmen kann was ich geschrieben habe!
(Du scheinst wirkliche Ahnung zu haben!, und ich verstehe sie selbst noch nicht ganz!)

Jester

Ich wage sogar mal zu behaupten die konvergiert für kein x.
Aber das ist für die Aufgabe, wie sich herausgestellt hat ziemlich irrelevant.
Dort kommt einzig allein zum tragen, daß |sin(kx)|<=1 ist.

MfG Jester

Jester

Ja, das sieht richtig aus.
Den Unterschied sieht man am besten, wenn man sich auch mal nicht gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen anschaut:

f_k(x) = x^(1/k), also k-te Wurzel von x. Wobei wir x€[0,1] zulassen.

Für k-->unendl. kriegen wir f(x) = 0, falls x=0, 1 sonst.
Das ist punktweise Konvergenz.

Die einzelnen Funktionen waren alle stetig, aus alle stetig + glm. Konvergent folgt Grenzfunktion auch stetig. Diese Grenzfunktion ist nicht stetig, also auch keine glm. Konvergenz.

Wir können natürlich auch das Intervall (0,1] betrachten. Dann ist die Grenzfunktion konstant 1. Aber es gibt trotzdem noch Probleme:

|1-f_k(x)| < e für alle x.

Wir können bel. x betrachten, also zum Beispiel eine Folge:
a_n = (1/n)^n

Dann ist |1-f_k(a_k)| = |1-1/k| --> 1 für k--> unendl. Also nix mit kleiner als bel. e. Also auch nicht glm. konvergent.

So und dann noch ein Beispiel wo's klappt:

Intervall: [a,1] wobei a>0, gleicher Ansatz:
|1-f_k(x)| = |1-x^(1/n)| <= |1-a^(1/n)| Das ist eine Nullfolge, da a>0 ist.
Also kriegen wir sie auch kleiner als jedes e.

Zusammenfassend ist bei glm. Konvergenz folgendes zu tun:
Als allererstes mal punktw. Konvergenz prüfen und Grenzfunktion bestimmen.

Wenn die Grenzfunktion unstetig ist und die Ausgangs-Funktionen stetig sind ist alles klar. Dann kann es nicht glm. konv. sein.

Ist genau diese Stelle rausgenommen, so wie im zweiten Beispiel, dann kann man meistens mit einer Folge, die zur Unstetigkeitsstelle hin konvergiert was reißen. Einfach versuchen die Funktion rückgängig zu machen: oben was das Wurzelziehen, also hab ich potenziert und innenrein eine entsprechende Folge reingebastelt.

Zuguterletzt, wenn man die glm. Konvergenz beweisen soll/will, dann versucht man am besten den Betrag der Funktionsdifferenz durch eine Nullfolge nach oben abzuschätzen. Denn Nullfolgen krieg man immer kleiner als jedes e.

Ich hoffe das klärt das ein bißchen.

MfG Jester