Mathe

Jester

Aha, es geht also garnicht um Konvergenz sondern um gleichmäßige Konvergenz... was die Reihe in Deiner allerersten Frage mit dieser Aufgabe zu tun hat kann ich leider nicht erkennen.

Also, daß die beiden Reihen kovergieren ist klar. Die entsprechenden Beweise wurden schon geliefert.

Gleichmäßige Konvergenz heißt, daß |Grenzfunktion - n-te Funktion| für alle x eine Nullfolge gibt, wenn ich mich recht erinnere.

Letzter Teil ist trivial. Bei gleichmäßger Konvergenz ist (Sum[i=1..n]f_i)' = Sum[i=1..n](f_i)'

MfG Jester

P.S.: Ohne Garantie, ist alles aus ca. 1 Jahr alter Erinnerung.

@Jester:
Offensichtlich hab ich Mist erzählt, bzgl. deines Beweises.
Aber das die cos(kx) Reihe nicht für jedes x konvergiert, ist
aber wohl trotzdem klar.

Jockel

So,

ich habe mir jetzt sogar noch die Mühe gemacht Dir die " Formel " rauszusuchen!

1. Definition:

Es sei D Teilmenge von R. Zu jedem k element N sei eine Funktion fk auf D gegeben. Die Funktionsfolge (fk) heißt punkteweise konvergent auf D, wenn für jedes x Element D die Zahlenfolge (fk(x)) konvergiert. Die dann durch

f(x)= lim (k->unendlich) fk(x), x Element D

definierte Funktion heißt Grenzfunktion der Funktionsfolge (fk), und man sagt, (fk) konvergiert punktweise gegen f. Völlig analoge Begriffsbildung trifft man für Funktionsreihen [Summe k=0... unendlich] fk.

2. Definition:

Unter den generellen Vorraussetzungen der vorangegangenen Definition heißt die Folge (fk) GLEICHMÄSSIG KONVERGENT gegen f, wenn zu jedem e > 0 ein
N Element N existiert mit |fk(x)-f(x)| < e für alle x Element D und alle k>=N.
Die Gleichmässigkeit der Konvergenz besteht darin, dass zu e > 0 existierende N Element N gleichmässig für alle x Element D gewählt werden kann. Eine gleichmässig konvergente Funktionsfolge konvergiert insbesondere punktweise.

@Jester: Kannst du bitte mal schauen, ob das stimmen kann was ich geschrieben habe!
(Du scheinst wirkliche Ahnung zu haben!, und ich verstehe sie selbst noch nicht ganz!)

Jester

Ich wage sogar mal zu behaupten die konvergiert für kein x.
Aber das ist für die Aufgabe, wie sich herausgestellt hat ziemlich irrelevant.
Dort kommt einzig allein zum tragen, daß |sin(kx)|<=1 ist.

MfG Jester

Jester

Ja, das sieht richtig aus.
Den Unterschied sieht man am besten, wenn man sich auch mal nicht gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen anschaut:

f_k(x) = x^(1/k), also k-te Wurzel von x. Wobei wir x€[0,1] zulassen.

Für k-->unendl. kriegen wir f(x) = 0, falls x=0, 1 sonst.
Das ist punktweise Konvergenz.

Die einzelnen Funktionen waren alle stetig, aus alle stetig + glm. Konvergent folgt Grenzfunktion auch stetig. Diese Grenzfunktion ist nicht stetig, also auch keine glm. Konvergenz.

Wir können natürlich auch das Intervall (0,1] betrachten. Dann ist die Grenzfunktion konstant 1. Aber es gibt trotzdem noch Probleme:

|1-f_k(x)| < e für alle x.

Wir können bel. x betrachten, also zum Beispiel eine Folge:
a_n = (1/n)^n

Dann ist |1-f_k(a_k)| = |1-1/k| --> 1 für k--> unendl. Also nix mit kleiner als bel. e. Also auch nicht glm. konvergent.

So und dann noch ein Beispiel wo's klappt:

Intervall: [a,1] wobei a>0, gleicher Ansatz:
|1-f_k(x)| = |1-x^(1/n)| <= |1-a^(1/n)| Das ist eine Nullfolge, da a>0 ist.
Also kriegen wir sie auch kleiner als jedes e.

Zusammenfassend ist bei glm. Konvergenz folgendes zu tun:
Als allererstes mal punktw. Konvergenz prüfen und Grenzfunktion bestimmen.

Wenn die Grenzfunktion unstetig ist und die Ausgangs-Funktionen stetig sind ist alles klar. Dann kann es nicht glm. konv. sein.

Ist genau diese Stelle rausgenommen, so wie im zweiten Beispiel, dann kann man meistens mit einer Folge, die zur Unstetigkeitsstelle hin konvergiert was reißen. Einfach versuchen die Funktion rückgängig zu machen: oben was das Wurzelziehen, also hab ich potenziert und innenrein eine entsprechende Folge reingebastelt.

Zuguterletzt, wenn man die glm. Konvergenz beweisen soll/will, dann versucht man am besten den Betrag der Funktionsdifferenz durch eine Nullfolge nach oben abzuschätzen. Denn Nullfolgen krieg man immer kleiner als jedes e.

Ich hoffe das klärt das ein bißchen.

MfG Jester

Danke, an alle!

Ich habe aber noch eine Frage:

Jester schreibet:

Wir können bel. x betrachten, also zum Beispiel eine Folge:
a_n = (1/n)^n

Dann ist |1-f_k(a_k)| = |1-1/k| --> 1 für k--> unendl. Also nix mit kleiner als bel. e. Also auch nicht glm. konvergent.

Mister X schreibt aber

|fk(x)-f(x)| < e

Das wäre aber |1/k -1| < e

Und was ist mit < e gemeint? wirklich kleiner(also < -1000) oder näher an 0;

Jester

mit e ist ein bel. e>0 gemeint. In diesem Fall zeige ich aber, daß es nicht glm. konvergent ist. Und wenn es gegen 1 konvergiert, dann kannst Du es nicht kleiner als ein bel e>0 kriegen. In Mathevorlesungen heißt das auch eher Epsilon und nicht e.

Und da der Betrag genommen wird ist |1-1/k| = |1/k - 1|
Ich mache mir meistens auch nicht die Mühe die von Hand kleiner als ein e zu bringen. Ich schätze die Sachen dann immer nach oben gegen Nullfolgen ab. Die kriegt man in jedem Fall kleiner als e.

MfG Jester

Hallo, jetzt habe ich noch eine Frage.

Ich wollte das ganze zum Spaas mal mit ner Folge versuchen.

Ich habe im Internet die Aufgabe fk(x) = (kx^2)/(1+kx) I= [0,1] gefunden.

Ich habe das umgeformt zu x - x/(kx+1)
(Da x ja konstant ist, ist x/(kx+1) Nullfolge)

lim k->unendlich x-x/(kx+1) = x
=> Punktweise konvergent gegen x

Ich hoffe soweit ist das richtig
(komisch, ich habe das Intervall nicht verwendet)

so, wie wende ich nun |fk(x)-f(x)| < e an?

muss so sein da wegen x = konstant, ist |x / (kx+1)| wieder Nullfolge daher < e

Ist das richtig? (war irgendwie zu leicht)
(Und vorallem habe ich das Intervall überhaupt nicht verwendet )

Jester

Ja, das sieht richtig aus, auch wenn ich die Abschätzung einfach zu Ende machen würde:

x/(k*x+1) <= x/(k*x) = 1/k ist NF.

In der Tat ist das Intervall hier nicht sehr wichtig. Aber manchmal wird man das x nicht los und muß dann halt mit dem maximalen/minimalen Wert abschätzen. Wichtig ist, daß die Abschätzungen, die Du triffst auf dem ganzen Intervall stimmen.

Nimm doch mal das Beispiel f_n(x) = 1/(1+n*x), und zwar mit 3 versch. Definitionsbereichen: D1:=[0, unendl.), D2:=(0, unendl.), D3:=(a, unendl.) a>0

MfG Jester

Hallo,

ich habe jetzt fast alles verstanden! (is alles irgendwie logisch)

Ausser warum bei meiner Aufgabe Für die Grenzfunktionen f bzw. g gilt: g = f' ?

Also warum die eine Grenzfunktion die Ableitung der anderen ist?

Jester

glm. Konvergenz heißt bedeutet für Dich in der Anwendung:

lim[x-->x0]Sum[n=0..unendl.]f_n(x) = Sum[n=0..unendl.]lim[x-->x0]f_n(x)

lim und Summation sind also vertauschbar. Wenn Du jetzt den Differentialquotionten ansetzt kannst Du den so umwurschteln, daß er zur Summe über die einzelnen Differentialquotienten wird. Probiers einfach mal! Den Differentialquot. ansetzen, den Limes reinziehen, die Summe rausziehen, dann steht es schon fast da!

Das heißt, wenn man ne glm. konv. Funktionen-Reihe ableiten soll, dann kann man auch einfach die einzelnen Funktionen ableiten und darüber die Reihe nehmen.

MfG Jester

Hallo nochmal,

Ich habe mich jetzt nochmal genauer informiert, allerdings
lese ich oft x0 ist damit gemeint für x=0 einzusetzen und dann den Wert nehmen gegen den die Summe konvergiert?
(Das habe ich beim Thema Konvergenzradius gelesen)

Also z.B. wie bestimme ich x0 von

1. [Summe k=1.. unend] x^k * (1-x)

2. [Summe k=1.. unend] k* (x-1)^k

Jester

Sorry, irgendwie werde ich da jetzt nicht richtig draus schlau.
Also daß x0 die Bedeutung x=0 haben soll kommt mir etwas merkwürdig vor.
Was willst Du denn tun? Den Konvergenzradius der Reihen ermitteln?
Dann schau mal nach Wurzelkriterium bzw. Quotionentenkrit.

MfG Jester

Hallo,

ich habe die Definition:

Falls die Menge {x | [Summe k=0 bis unend] ak (x-x0)^k konvergiert}

unbeschränkt ist, sagen wir, die Potemnzreihe [Summe k=0 bis unend] ak(x-x0)^k
hat den konvergenzradius unendlich, anderenfalls bezeichnen wir

supremum{x | [Summe k=0 bis unend] ak (x-x0)^k konvergiert}

als Konvergenzradius.

Dies ist mir ja alles klar. Alles- bis auf was dieses x0 sein kann?
(Das ist nen x mit ner anschliessend tiefer gestellten 0, so wie ein Index)

Jester

Das ist normalerweise ein fester Wert. Irgendeine reelle Zahl halt oder sowas.

MfG Jester

Ja,

es muss eine reelle Zahl sein , nur welche?

Ich habe lediglich 4 beispiele!

[Summe k=0 bis unendlich] x^k X0=0

[Summe k=0 bis unendlich] (x^k)/(k!) x0=0

[Summe k=0 bis unendlich] Quadratwurzel(k)*(x-1)^k x0=1

[Summe k=0 bis unendlich] ((1)/(s^{k*Quadratwurzelk))*(x-2)}k X0=2

Ich finde leider kein System darin!
Das muss aber ein simles sein, da die davon ausgehen, das man das System nur anhand dieser Beispiele erkennt! (ist kein weiterer Hinweis gegeben)

Jester

Einfach in den Term der Potenzreihe reinschauen, der potenziert wird. Der ist bei Euch laut Definition (x-x0)^k

In den ersten beiden Beispielen steht da x^k und das ist das gleiche wie (x-0)^k, also ist x0=0. Einfach den Ausdruck mit dem Muster von oben vergleichen.
In den letzten beiden Beispielen sieht man es dann deutlich:

(x-1)^k soll der Ausdruck (x-x0)^k sein, also ist x0=1 und das letzte ebenso.
Da gibts eigentlich nichtmal was dran zu kapieren, ist alles viel einfacher als es aussieht.

MfG Jester

WebFritzi

Jester schrieb:

Letzter Teil ist trivial. Bei gleichmäßger Konvergenz ist
(Sum[i=1..n]f_i)' = Sum[i=1..n](f_i)'

FALSCH!!! Erstens muss die Reihe punktweise konvergent sein (was sie ja auch ist), aber die Reihe der Ableitungen muss eben noch gleichmäßig konvergent sein. Dann stimmt das da oben.
Aber es gilt zum Beispiel: Die Grenzfunktion einer glm. konv. Reihe stetiger Funktionen ist wieder stetig.
Gehen wir in's Komplexe, so ist deine Aussage richtig. Du musst ja nicht sagen, dass du reelle Zahlen gemeint hast.