Mathe

Jester

Ja, das sieht richtig aus, auch wenn ich die Abschätzung einfach zu Ende machen würde:

x/(k*x+1) <= x/(k*x) = 1/k ist NF.

In der Tat ist das Intervall hier nicht sehr wichtig. Aber manchmal wird man das x nicht los und muß dann halt mit dem maximalen/minimalen Wert abschätzen. Wichtig ist, daß die Abschätzungen, die Du triffst auf dem ganzen Intervall stimmen.

Nimm doch mal das Beispiel f_n(x) = 1/(1+n*x), und zwar mit 3 versch. Definitionsbereichen: D1:=[0, unendl.), D2:=(0, unendl.), D3:=(a, unendl.) a>0

MfG Jester

Hallo,

ich habe jetzt fast alles verstanden! (is alles irgendwie logisch)

Ausser warum bei meiner Aufgabe Für die Grenzfunktionen f bzw. g gilt: g = f' ?

Also warum die eine Grenzfunktion die Ableitung der anderen ist?

Jester

glm. Konvergenz heißt bedeutet für Dich in der Anwendung:

lim[x-->x0]Sum[n=0..unendl.]f_n(x) = Sum[n=0..unendl.]lim[x-->x0]f_n(x)

lim und Summation sind also vertauschbar. Wenn Du jetzt den Differentialquotionten ansetzt kannst Du den so umwurschteln, daß er zur Summe über die einzelnen Differentialquotienten wird. Probiers einfach mal! Den Differentialquot. ansetzen, den Limes reinziehen, die Summe rausziehen, dann steht es schon fast da!

Das heißt, wenn man ne glm. konv. Funktionen-Reihe ableiten soll, dann kann man auch einfach die einzelnen Funktionen ableiten und darüber die Reihe nehmen.

MfG Jester

Hallo nochmal,

Ich habe mich jetzt nochmal genauer informiert, allerdings
lese ich oft x0 ist damit gemeint für x=0 einzusetzen und dann den Wert nehmen gegen den die Summe konvergiert?
(Das habe ich beim Thema Konvergenzradius gelesen)

Also z.B. wie bestimme ich x0 von

1. [Summe k=1.. unend] x^k * (1-x)

2. [Summe k=1.. unend] k* (x-1)^k

Jester

Sorry, irgendwie werde ich da jetzt nicht richtig draus schlau.
Also daß x0 die Bedeutung x=0 haben soll kommt mir etwas merkwürdig vor.
Was willst Du denn tun? Den Konvergenzradius der Reihen ermitteln?
Dann schau mal nach Wurzelkriterium bzw. Quotionentenkrit.

MfG Jester

Hallo,

ich habe die Definition:

Falls die Menge {x | [Summe k=0 bis unend] ak (x-x0)^k konvergiert}

unbeschränkt ist, sagen wir, die Potemnzreihe [Summe k=0 bis unend] ak(x-x0)^k
hat den konvergenzradius unendlich, anderenfalls bezeichnen wir

supremum{x | [Summe k=0 bis unend] ak (x-x0)^k konvergiert}

als Konvergenzradius.

Dies ist mir ja alles klar. Alles- bis auf was dieses x0 sein kann?
(Das ist nen x mit ner anschliessend tiefer gestellten 0, so wie ein Index)

Jester

Das ist normalerweise ein fester Wert. Irgendeine reelle Zahl halt oder sowas.

MfG Jester

Ja,

es muss eine reelle Zahl sein , nur welche?

Ich habe lediglich 4 beispiele!

[Summe k=0 bis unendlich] x^k X0=0

[Summe k=0 bis unendlich] (x^k)/(k!) x0=0

[Summe k=0 bis unendlich] Quadratwurzel(k)*(x-1)^k x0=1

[Summe k=0 bis unendlich] ((1)/(s^{k*Quadratwurzelk))*(x-2)}k X0=2

Ich finde leider kein System darin!
Das muss aber ein simles sein, da die davon ausgehen, das man das System nur anhand dieser Beispiele erkennt! (ist kein weiterer Hinweis gegeben)

Jester

Einfach in den Term der Potenzreihe reinschauen, der potenziert wird. Der ist bei Euch laut Definition (x-x0)^k

In den ersten beiden Beispielen steht da x^k und das ist das gleiche wie (x-0)^k, also ist x0=0. Einfach den Ausdruck mit dem Muster von oben vergleichen.
In den letzten beiden Beispielen sieht man es dann deutlich:

(x-1)^k soll der Ausdruck (x-x0)^k sein, also ist x0=1 und das letzte ebenso.
Da gibts eigentlich nichtmal was dran zu kapieren, ist alles viel einfacher als es aussieht.

MfG Jester

WebFritzi

Jester schrieb:

Letzter Teil ist trivial. Bei gleichmäßger Konvergenz ist
(Sum[i=1..n]f_i)' = Sum[i=1..n](f_i)'

FALSCH!!! Erstens muss die Reihe punktweise konvergent sein (was sie ja auch ist), aber die Reihe der Ableitungen muss eben noch gleichmäßig konvergent sein. Dann stimmt das da oben.
Aber es gilt zum Beispiel: Die Grenzfunktion einer glm. konv. Reihe stetiger Funktionen ist wieder stetig.
Gehen wir in's Komplexe, so ist deine Aussage richtig. Du musst ja nicht sagen, dass du reelle Zahlen gemeint hast.