Matherätsel! 0.999... == 1

[toostuff]

allein der versuch etwas mit einem system zu beschreiben, was wir uns selbst nicht vorstellen können (unendlichkeit) muss schief gehen, und in dem fall äußert es sich halt in dieser glaubensfrage 0.99=1, ja oder nein?

hat eigentlich irgendjemand den mathematischen beweis gepostet, dass es keine reele zahl zwischen 0.99 und 1 gibt? der würde mich echt mal interessieren.

[Jester]

Ja, gleich das erste Posting enthält einen solchen Beweis, nämlich daß 0.999... = 1 ist. Daraus folgt natürlich direkt, daß keine Zahl echt dazwischen liegt.

Das ist übrigens auch keine Glaubensfrage, sondern eine Konsequenz der Art und Weise, wie man Zahlen im Dezimalsystem darstellt. Das Phänomen "unendlich" ist mathematisch zumindest für abzählbare Dinge und das was wir hier machen sehr gut erfasst.

Hast Du ne ernsthafte Kritik an dem Beweis? Oder ist das nur das übliche Geblubber von Leuten die keine Ahnung von Mathematik haben?

[toostuff]

[quote="Jester"]Ja, gleich das erste Posting enthält einen solchen Beweis, nämlich daß 0.999... = 1 ist. Daraus folgt natürlich direkt, daß keine Zahl echt dazwischen liegt.
[/quote]

daraus folgt höchstens indirekt dass keine zahl dazwischen liegt, ein beweis ist das für mich noch nicht

[toostuff]

bashar und allen interessierten sei übrigens noch folgendes an herz gelegt: http://www.math.hawaii.edu/~dale/godel/godel.html

[Daniel E.]

toostuff schrieb:

bashar und allen interessierten sei übrigens noch folgendes an herz gelegt: http://www.math.hawaii.edu/~dale/godel/godel.html

Genau. Link hinknallen. Fall erledigt.

Wo sagen denn Gödel oder Cantor, daß die reellen Zahlen nicht so konstruiert werden können, wie sie konstruiert worden sind?

[Bashar]

toostuff schrieb:

bashar und allen interessierten sei übrigens noch folgendes an herz gelegt: http://www.math.hawaii.edu/~dale/godel/godel.html

Schön. Da steht aber nichts über dein Anliegen.

[toostuff]

der link ist als denkanstoß bzgl mathematik als unvollkommenes system zu verstehen

[pasti]

@toostuff: Gödels hat in seiner Arbeit über Unvollständigkeit gesprochen, nicht über Unvollkommenheit.

[nman]

toostuff: Denkanstoß ist das insofern keiner, als das ohnehin jeder Mathematiker und Informatiker beim Studium lernt. Und vielleicht solltest Du Dir das auch mal etwas genauer zu Gemüte führen, Du hast das offensichtlich etwas missverstanden.

Oh, btw, über 0,999...=1 habe ich damals schon mit einer meiner Mathelehrerinnen in der Unterstufe gestritten. Vor 20 Jahren gehörte das offensichtlich noch nicht zum Gymnasial-Lehrplan und ich hatte es relativ schwer gegen Argumente wie "Du verstehst das nicht, Du hast da bestimmt was übersehen" mit einem ähnlichen Beweis wie dem von Seite 1 anzukommen, der mir damals - nachdem sowas ja in keinem mir bekannten Mathebuch stand - ziemlich revolutionär vorkam.

Ich höre heute noch ihr "Naja, wenn Du 1-0,999... ausrechnest, dann kommt dir eben 0 komma unendlich oft 0 und dann noch ein Einser gaaanz am Ende heraus".

[Bashar]

toostuff schrieb:

der link ist als denkanstoß bzgl mathematik als unvollkommenes system zu verstehen

Das mag ja sein, dass da irgendwas unvollkommen ist. Deshalb trifft das aber nicht sofort auf alles zu, was dir nicht passt. Bei Gödel führt erzwungene Vollständigkeit auf einen Widerspruch. Wo ist hier der Widerspruch?

[TGGC]

nman schrieb:

"Naja, wenn Du 1-0,999... ausrechnest, dann kommt dir eben 0 komma unendlich oft 0 und dann noch ein Einser gaaanz am Ende heraus".

Das hat deine _Mathelehrerin_ behauptet? Scheisse, ist diese Welt dumm! f'`8k

Gruß, TGGC (\-/ has leading)

[finix]

toostuff schrieb:

allein der versuch etwas mit einem system zu beschreiben, was wir uns selbst nicht vorstellen können (unendlichkeit) muss schief gehen, und in dem fall äußert es sich halt in dieser glaubensfrage 0.99=1, ja oder nein?

Nein, es ist keine Glaubensfrage. Die Zahl 0,9... - und es ist ein einziger Wert, kein unendlicher Prozess - ist, in Bezug auf die reellen Zahlen, ganz einfach definiert als der Grenzwert der unendlichen Reihe 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...

Und das Konzept der Unendlichkeit ist alles andere als unvorstellbar.

[DEvent]

Ich höre heute noch ihr "Naja, wenn Du 1-0,999... ausrechnest, dann kommt dir eben 0 komma unendlich oft 0 und dann noch ein Einser gaaanz am Ende heraus".

LOL, am Ende von was kommt die 1? Am Ende der Unendlichkeit

[mantiz]

Ich denke das Problem ist, dass sich viele Leute Unendlich als irgendeine Zahl (wie gross auch immer) vorstellen, aber wenn dies so ist, dann wäre:

[e]infin[/e] / [e]infin[/e] = 1

Wir wissen aber, dass ∞ - 1 = ∞ ist, daraus würde folgen:

[e]infin[/e] / [e]infin[/e] = ([e]infin[/e] - 1) / [e]infin[/e] = ([e]infin[/e] / [e]infin[/e]) - (1 / [e]infin[/e]) = 1 - (1 / [e]infin[/e]) != 1

da von 1 ja auf jeden Fall etwas abgezogen wird, zwar etwas unendlich kleines, aber es wird etwas abgezogen. Wir wissen aber, dass (1 / ∞) gegen Null läuft, demnach wäre 1 - (1 / ∞) = 1 - 0 = 1. Da 1 / ∞ quasi mit 0 gleichzusetzen ist, kann man auch 0,999... = 1 setzen.

Soweit zumindest meine Vorstellung.

Denn die einzige Zahl, die evtl. zwischen 0 und 1 / ∞ liegt wäre 1 / (∞ + x), was wiederum gleich ist mit 1 / ∞ (x irgendeine positive Zahl). Gleiches würde bei 0,999... gelten.

// Edit:
Da fällt mir gerade noch ein:
Wenn 0,999... != 1, dann müsste 0,999... + 0,0...01 = 1 sein, also in Worten Null Komma unendlich oft die Null und dann Eins. Wenn ich aber Unendlich oft die Null als Nachkommastelle habe, dann erreiche ich die 1 an der Nachkommastelle "unendlich + 1" niemals, da ich nicht weiter als unendlich komme. Wenn ich irgendwie auf die 1 "hinter unendlich" zugreifen könnte, dann würde das bedeuten, dass unendlich doch endlich wäre, was einen Widerspruch darstellt, oder liege ich hiermit falsch?

[Bashar]

mantiz schrieb:

Ich denke das Problem ist, dass sich viele Leute Unendlich als irgendeine Zahl (wie gross auch immer) vorstellen

Das kann ich mir nicht vorstellen. Zu jeder Zahl gibt es auch immer eine größere, z.B. zu jeder natürlichen einen Nachfolger, das sollte wohl jedem klar sein. Ich denke eher, dass manche Leute sich unendlich nur als einen nie endenden Prozess vorstellen. D.h. 0,99... ist zwar die Reihe 0,9 + 0,09 + ..., aber da der Prozess dieser Aufsummierung nie die 1 erreicht, ist 0,99... auch nicht gleich 1. Der Grenzwert stellt aber eine fiktive Vollendung dieses Prozesses dar, also ein abgeschlossenes Unendlich, und diese Möglichkeit muss man erstmal akzeptieren können.

[mantiz]

hm, da stellt sich mir gerade folgende Frage:
Wenn 0,999... != 1 ist, dann müsste es eine Zahl geben, die folgendermaßen aussieht:
1 - 0,999..., was demnach 0,00..001 wäre, also 0 Komma Periode 0 und dann 1. Grenzwertprozesse mal außer Acht gelassen, wie kann es eine solche Zahl geben?

Kann ja sein, dass ich jetzt gerade total quer denke, aber irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass es eine solche Zahl geben kann. Denn die Periode besagt ja, dass diese Zahlenfolge (hier nur die "0") niemals endet. Bzw. die Zahl 0,00...001 gibt es in der Realität gar nicht und ist nur ein Gedankenkonstrukt, damit genau obige Gleichung erfüllt ist.

[nman]

TGGC schrieb:

Das hat deine _Mathelehrerin_ behauptet?

Jup. Lustigerweise wusste es mein Lateinlehrer besser.

[Jester]

toostuff schrieb:

Jester schrieb:

Ja, gleich das erste Posting enthält einen solchen Beweis, nämlich daß 0.999... = 1 ist. Daraus folgt natürlich direkt, daß keine Zahl echt dazwischen liegt.

daraus folgt höchstens indirekt dass keine zahl dazwischen liegt, ein beweis ist das für mich noch nicht

Inwiefern beweist es das nicht? Wenn die gleich sind, was sollte dann noch echt dazwischen liegen? Nix. Also ist es ein einwandfreier Beweis.

@mantiz: Deine Rechnung mit ∞ ist zwar sehr intuitiv und im Prinzip auch richtig. Die Zahl müßte so aussehen, wie Du's beschrieben hast. Und das kann es logischerweise nicht geben. Anschaulich ist das sehr schön, wenn ich's abgeben sollte würde ich's aber stärker formalisieren und ohne das Rechnen mit "unendlich" auskommen wollen.

Wir können das auch mal ganz formal machen und einfach aus rechnen was 0.999... eigentlich ist:

$x = \frac{1}{10} \cdot \sum_{i=0}^\infty 9 \cdot 10^{-i} = \frac{1}{10} \cdot \sum_{i=0}^\infty \left( \frac{9}{10} \right)^{i} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{1-\frac{9}{10}} = \frac{1}{10} \cdot 10 = 1$

[toostuff]

ihr könnt euch unendlichekit vorstellen? also mein voller respekt.

[Jester]

Sag ich doch, außer ein paar Phrase á la "Ich verstehe nix davon, also könnt ihr's auch nicht verstehen und das ist alles quatsch" kommt da meist nicht viel. Schade.