Matherätsel! 0.999... == 1

Jester

Naja, was heißt überprüfen. Das ganze basiert auf gewissen Annahmen, nämlich Axiomen. Die sind meist so einfach, daß man sie gerne glaubt. Und daraus leitet sich alles weitere ab. Unter Annahme dieser Axiome ist 0.999... = 1.

Sich darüber zu Unterhalten wie es nun "in Wirklichkeit" ist, ist nicht wirklich sinnvoll. Viele Aussagen kann man erst treffen wenn man sich über ein paar Grundannahmen geeinigt hat. Was soll denn überhaupt ne reelle Zahl sein etc.

Beispielsweise gibt's die Peano-Axiome, die sagen was die natürlichen Zahlen sind und wie die funktionieren. Die sind sehr einfach und beschreiben genau das, was wir uns drunter vorstellen. Aber ob das der Wirklichkeit entspricht können wir natürlich nicht wirklich sagen. Mit den Peano-Axiomen und ner darauf basierenden Definition von + kann man leicht nachrechnen, dass 10000000000 Äpfel + 10000000000 Äpfel = 20000000000 Äpfel sind. Prima. Dennoch hat noch nie jemand überprüft (so vermute ich), ob das in Wirklichkeit auch so funktioniert. Vermutlich schon. Zumindest sind die Resultate plausibel, es paßt mit unserer Vorstellung zusammen und es sind noch keine Widersprüchlichkeiten aufgetreten.

Walli schrieb:

toostuff schrieb:

aber wie will man sowas überprüfen?

Wie will man überprüfen, dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat?

Chuck Norris counted to infinity - twice.

So - dann hätt' ich mal 'ne Frage:

wenn 0.999... = 1 ist, dann ja auch das Quadrat.
Der Ausdruck 0.999 - 0.999^2 sollte also Null sein.
Gehen wir jetzt mal in die Summendarstellung.

dann ist 0.999... - 0.999...^2
= 9/10 + 9/100 + ... = 99/100 + 99/10000 + ...
minus
81/100 + 81/10000 + ...

das ist
18/100 + 18/10000 + ...
= 0.181818...

und - da ist ja wohl nix falsch dran!
Was nun?
Das Resultat sagt eindeutig, dass 0.999... kleiner als 1 ist, denn nur dann erhalte ich ein positives Ergebnis.
Sagt nur nicht, ich dürfte 0.999 nicht quadrieren - dann darf ich es auch nicht mal 10 nehmen...

Ich denke, dass dies ein absoluter legaler Beweis dafür ist, dass es nicht 1 ist! (ein sehr schöner sogar )
Tja... Jeeeeeeester....help

SG1

Bitsy schrieb:

minus
81/100 + 81/10000 + ...

Quadrieren sollte man schon richtig.

Bashar

Bitsy schrieb:

dann ist 0.999... - 0.999...^2
= 9/10 + 9/100 + ... = 99/100 + 99/10000 + ...
minus
81/100 + 81/10000 + ...

Aber dass 0.999..² größer sein müßte als 0.99² = 0.9801, darüber sind wir uns doch einig?

volkard

0.9² = 0.81
0.09² = 0.0081

(0.9 + 0.09)² = 0.9² + 2*0.9*0.09 + 0.09²

das liegt an der ersten binomischen formel, glaube ich. den mittleren term darf man nicht wegwerfen, das gildet nicht. tut man es doch machen, sinkt die glaubwürdigkeit des beweises ein wenig.

this-*gt*that

nman schrieb:

Ich höre heute noch ihr "Naja, wenn Du 1-0,999... ausrechnest, dann kommt dir eben 0 komma unendlich oft 0 und dann noch ein Einser gaaanz am Ende heraus".

was is daran falsch? was kommt denn dann raus?

volkard

this->that schrieb:

nman schrieb:

Ich höre heute noch ihr "Naja, wenn Du 1-0,999... ausrechnest, dann kommt dir eben 0 komma unendlich oft 0 und dann noch ein Einser gaaanz am Ende heraus".

was is daran falsch? was kommt denn dann raus?

meon bruder hat es mir so erklärt, glaub ich:
wenn du die 1 hinter unendlich vielen nullen hinschreiben willst, dann kann das gar nicht gehen. und selbst wenn es ginge, die könntest du nie erreichen. kannst ja unendlich viele stellen nach rechst gehen und hast dort ne 0. kannst nicht mehr als unendlich weit nach rechts gehen. also ist die 1 da sowas von wirksam versteckt, daß sie gar nicht da ist.

this-*gt*that

Naja schon, aber ganz falsch ist es ja irgendwie auch nicht.
1-0.9 = 0.1
1-0.99 = 0.01
1-0.999 = 0.001

es werden also in der Tat immer mehr Nuller und am Ende eine 1. Und wenn man sich das dann so vorstellt wird man hier gleich als dumm bezeichnet. Finde sowas ziemlich unangebracht und ehrlich gesagt arrogant.

volkard

this->that schrieb:

Naja schon, aber ganz falsch ist es ja irgendwie auch nicht.
1-0.9 = 0.1
1-0.99 = 0.01
1-0.999 = 0.001
es werden also in der Tat immer mehr Nuller und am Ende eine 1. Und wenn man sich das dann so vorstellt wird man hier gleich als dumm bezeichnet. Finde sowas ziemlich unangebracht und ehrlich gesagt arrogant.

dumm im sinne von unwissend ist sogar das treffende wort. und das ist ja auch kein problem. dann lernt man halt dazu und ist nicht mehr dumm in diesem punkt.
es kommt ja dann auch immer recht schnell ein ganz toll nichtwiederlegbarer beweis, daß 0.999... = 1 und das muß man dann einsehen mangels alternativen.

SG1 schrieb:

Bitsy schrieb:

minus
81/100 + 81/10000 + ...

Quadrieren sollte man schon richtig.

aaaargh... - irgendwas ist immer...

TGGC

this->that schrieb:

1-0.9 = 0.1
1-0.99 = 0.01
1-0.999 = 0.001

es werden also in der Tat immer mehr Nuller und am Ende eine 1.

Das ist doch einfach eine Grenzwertbetrachtung von 1 / 10^n mit n gegen unendlich. Und das nun mal 0. Beweise dafür findet man auch wieder in beliebigen Mathebüchern. f'`8k

Gruß, TGGC (\-/ has leading)

finix

this->that schrieb:

Naja schon, aber ganz falsch ist es ja irgendwie auch nicht.
1-0.9 = 0.1
1-0.99 = 0.01
1-0.999 = 0.001

es werden also in der Tat immer mehr Nuller und am Ende eine 1. Und wenn man sich das dann so vorstellt wird man hier gleich als dumm bezeichnet. Finde sowas ziemlich unangebracht und ehrlich gesagt arrogant.

Das stimmt aber nur solange die Folge von Neunen endlich ist. Die Zahl 0,0...1 existiert ganz einfach nicht.

Und es hat auch niemand (oder zumindest ich nicht) gesagt das die Leute die's nicht wissen zwangsläufig dumm sind. Wäre das nicht so hochgradig unintuitiv hätte ich das wohl nicht in der Form gepostet; aber einsichtig sollte das ganze schon sein.

TGGC

finix schrieb:

Und es hat auch niemand (oder zumindest ich nicht) gesagt das die Leute die's nicht wissen zwangsläufig dumm sind.

Dumm steht unter anderem für unwissend (http://www.physiologus.de/dumm.htm). Daher ist "Leute die's nicht wissen" definitionsgemäß dumm. f'`8k

Autocogito

Gruß, TGGC (\-/ has leading)

finix

TGGC schrieb:

finix schrieb:

Und es hat auch niemand (oder zumindest ich nicht) gesagt das die Leute die's nicht wissen zwangsläufig dumm sind.

Dumm steht unter anderem für unwissend (http://www.physiologus.de/dumm.htm). Daher ist "Leute die's nicht wissen" definitionsgemäß dumm. f'`8k

Genial. Damit wäre das Wort 'dumm' "definitionsgemäß" bedeutungslos.

volkard

finix schrieb:

Genial. Damit wäre das Wort 'dumm' "definitionsgemäß" bedeutungslos.

nö. allenfalls könntest du herleiten, daß dumme leute nicht glauben, dumm zu sein. ich denke, das gehört zum beobachtbaren teil der welt.

nman

this->that schrieb:

Und wenn man sich das dann so vorstellt wird man hier gleich als dumm bezeichnet. Finde sowas ziemlich unangebracht und ehrlich gesagt arrogant.

Hat hier niemand getan, ich glaube das Wort "dumm" hat nur TGGC gebraucht. Und wenn sich das eine Mathematik-Lehrerin so vorstellt, dann ist es vielleicht sogar angemessen.

finix

volkard schrieb:

finix schrieb:

Genial. Damit wäre das Wort 'dumm' "definitionsgemäß" bedeutungslos.

nö. allenfalls könntest du herleiten, daß dumme leute nicht glauben, dumm zu sein. ich denke, das gehört zum beobachtbaren teil der welt.

Um, nein. Lies dir nochmal durch was TGGC geschrieben hat.

TGGC

volkard schrieb:

finix schrieb:

Genial. Damit wäre das Wort 'dumm' "definitionsgemäß" bedeutungslos.

nö. allenfalls könntest du herleiten, daß dumme leute nicht glauben, dumm zu sein. ich denke, das gehört zum beobachtbaren teil der welt.

Volkard, ich liebe dich!

Gruß, TGGC (\-/ has leading)

queer_boy

ich kann mich dunkel erinnern, vor langer, langer zeit etwas über zahlen gelesen zu haben, die eine periode links vom komma besitzen und ganz interessante eigenschaften haben; allerdings fällt mir weder name noch sonst etwas dazu ein, womit ich googlen könnte. irgendeinen hinweis?

ging auf einen netten beweis zu like ...9999 + 1 = 0