Matherätsel! 0.999... == 1

finix

volkard schrieb:

finix schrieb:

Genial. Damit wäre das Wort 'dumm' "definitionsgemäß" bedeutungslos.

nö. allenfalls könntest du herleiten, daß dumme leute nicht glauben, dumm zu sein. ich denke, das gehört zum beobachtbaren teil der welt.

Um, nein. Lies dir nochmal durch was TGGC geschrieben hat.

TGGC

volkard schrieb:

finix schrieb:

Genial. Damit wäre das Wort 'dumm' "definitionsgemäß" bedeutungslos.

nö. allenfalls könntest du herleiten, daß dumme leute nicht glauben, dumm zu sein. ich denke, das gehört zum beobachtbaren teil der welt.

Volkard, ich liebe dich!

Gruß, TGGC (\-/ has leading)

queer_boy

ich kann mich dunkel erinnern, vor langer, langer zeit etwas über zahlen gelesen zu haben, die eine periode links vom komma besitzen und ganz interessante eigenschaften haben; allerdings fällt mir weder name noch sonst etwas dazu ein, womit ich googlen könnte. irgendeinen hinweis?

ging auf einen netten beweis zu like ...9999 + 1 = 0

Bashar

queer_boy schrieb:

ich kann mich dunkel erinnern, vor langer, langer zeit etwas über zahlen gelesen zu haben, die eine periode links vom komma besitzen und ganz interessante eigenschaften haben; allerdings fällt mir weder name noch sonst etwas dazu ein, womit ich googlen könnte. irgendeinen hinweis?

p-adische Zahlen?

queer_boy

Bashar schrieb:

p-adische Zahlen?

hm, sieht wohl so aus. auch wenn ich es damals didaktisch besser aufbereitet zu gesicht bekommen habe, als im wikipediaartikel dazu...

DEvent

queer_boy schrieb:

ich kann mich dunkel erinnern, vor langer, langer zeit etwas über zahlen gelesen zu haben, die eine periode links vom komma besitzen und ganz interessante eigenschaften haben; allerdings fällt mir weder name noch sonst etwas dazu ein, womit ich googlen könnte. irgendeinen hinweis?

ging auf einen netten beweis zu like ...9999 + 1 = 0

Das musst du mir mal erklären: Also Unendlich+1 wird zu 0?? Hatten wir nicht vorhin geklärt das Unendlich+1 immernoch Unendlich ist?

Bashar

DEvent schrieb:

queer_boy schrieb:

ging auf einen netten beweis zu like ...9999 + 1 = 0

Das musst du mir mal erklären: Also Unendlich+1 wird zu 0?? Hatten wir nicht vorhin geklärt das Unendlich+1 immernoch Unendlich ist?

Hatten wir, aber wer sagt denn, dass ...999 gleich unendlich ist?

BTW mit ...999 geht das sowieso nicht, die Basis (hier 10) muss eine Primzahl sein. Jedenfalls laut der Wikipedia-Seite dazu, ich kenn mich da nicht aus.

Eine positive Zahl plus eine positive Zahl wird in meinem Gedankenraum jedenfalls nicht 0. Hindert natürlich nicht einen Mathematiker daran, seine eigenen Räume zu definieren.

Jester

Tja, p-adische Zahlen sind sone ganz eigene Sache. Das hat mit den reellen Zahlen nichts zu tun.

Wenn man auch Q den normalen Betrag | | anschaut und dann vervollständigt, so daß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert besitzt, dann kommt R raus.

Betrachtet man nun mal nen anderen Betrag, erstmal auf Z, da ist der p-Betrag: wir zählen, wie oft p als Faktor in irgendeiner Zahl n drin steckt. Das nennen wir mal v_p(n). Als Betrag |n|_p definieren wir dann p^(-v_p(n)). Bei Bruchzahlen (a/b) sagen wir v_p(a/b) = v_p(a)-v_p(b) und definieren den Betrag entsprechend. |0| setzen wir auf 0.

Man kann sich nun klar machen, daß | |_p eine Norm auf Q ist. Nun kann man sich natürlich fragen, was passiert wenn wir Cauchy-Folgen bzgl dieser Norm anschaun. Vervollständigt man bezüglich dieser Norm, so kommt nicht mehr R raus, sondern eben die p-adischen Zahlen Q_p. Durch den völlig anderen Nachbarschaftsbegriff passieren da völlig andere Dinge.

Betrachten wir zum Beispiel mal die Folge a_n := p^n. Im Reellen ist die divergent, der (Absolut-)Betrag wächst über jede Schranke. Der p-adische Betrag:
|p^n|_p = p^(-v_p(pn)) = p^(-n). Das ist ganz klar ne Nullfolge, also muß die ursprüngliche Folge auch ne Nullfolge sein. Im p-adischen geht also die Folge p^n gegen 0.

Es gibt noch mehr Merkwürdigkeiten, zum Beispiel ist | |_p ultrametrisch, das heißt es gilt eine verschärfte Dreiecksungleichung: |a+b|_p <= max{|a|_p, |b|_p}. Als Konsequenz daraus findet man zum Beispiel, daß q-adische Kugeln recht lustig sind, sie sind zugleich offen und abgeschlossen und jeder Punkt der Kugel ist Mittelpunkt.
Außerdem sieht man so, daß eine Reihe über eine Folge genau dann konvergiert, wenn die Folge Nullfolge ist. Daraus sieht man dann zum Beispiel, daß die Reihe über die p_n n=0...unendlich konvergiert.

Tatsächlich lassen sich manche Probleme in Q_p leichter lösen. Einige Aussagen über Q lassen sich beweisen, indem man sie in allen Q_p zeigt. Durch den Betrag kann in Q_p sogar Analysis machen, also Ableitungen definieren etc.

W0lf

Jester schrieb:

Tja, p-adische Zahlen sind sone ganz eigene Sache. Das hat mit den reellen Zahlen nichts zu tun.

Wenn man auch Q den normalen Betrag | | anschaut und dann vervollständigt, so daß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert besitzt, dann kommt R raus.

Betrachtet man nun mal nen anderen Betrag, erstmal auf Z, da ist der p-Betrag: wir zählen, wie oft p als Faktor in irgendeiner Zahl n drin steckt. Das nennen wir mal v_p(n). Als Betrag |n|_p definieren wir dann p^(-v_p(n)). Bei Bruchzahlen (a/b) sagen wir v_p(a/b) = v_p(a)-v_p(b) und definieren den Betrag entsprechend. |0| setzen wir auf 0.

Man kann sich nun klar machen, daß | |_p eine Norm auf Q ist. Nun kann man sich natürlich fragen, was passiert wenn wir Cauchy-Folgen bzgl dieser Norm anschaun. Vervollständigt man bezüglich dieser Norm, so kommt nicht mehr R raus, sondern eben die p-adischen Zahlen Q_p. Durch den völlig anderen Nachbarschaftsbegriff passieren da völlig andere Dinge.

Betrachten wir zum Beispiel mal die Folge a_n := p^n. Im Reellen ist die divergent, der (Absolut-)Betrag wächst über jede Schranke. Der p-adische Betrag:
|p^n|_p = p^(-v_p(pn)) = p^(-n). Das ist ganz klar ne Nullfolge, also muß die ursprüngliche Folge auch ne Nullfolge sein. Im p-adischen geht also die Folge p^n gegen 0.

Es gibt noch mehr Merkwürdigkeiten, zum Beispiel ist | |_p ultrametrisch, das heißt es gilt eine verschärfte Dreiecksungleichung: |a+b|_p <= max{|a|_p, |b|_p}. Als Konsequenz daraus findet man zum Beispiel, daß q-adische Kugeln recht lustig sind, sie sind zugleich offen und abgeschlossen und jeder Punkt der Kugel ist Mittelpunkt.
Außerdem sieht man so, daß eine Reihe über eine Folge genau dann konvergiert, wenn die Folge Nullfolge ist. Daraus sieht man dann zum Beispiel, daß die Reihe über die p_n n=0...unendlich konvergiert.

Tatsächlich lassen sich manche Probleme in Q_p leichter lösen. Einige Aussagen über Q lassen sich beweisen, indem man sie in allen Q_p zeigt. Durch den Betrag kann in Q_p sogar Analysis machen, also Ableitungen definieren etc.

Also, nach diesem Beitrag muss ich mir erstmal nen Kaffee besorgen :p

queer_boy

Jester schrieb:

Als Konsequenz daraus findet man zum Beispiel, daß q-adische Kugeln recht lustig sind, sie sind zugleich offen und abgeschlossen und jeder Punkt der Kugel ist Mittelpunkt.

genau solche dinge machen für mich theoretische mathematik interesssant

Was ist eigentlich aus der Non-Standard-Analysis meines alten Profs geworden?
Da wurde eiskalt mit Unendlich gerechnet!

volkard

Jester schrieb:

Tja, p-adische Zahlen sind sone ganz eigene Sache. Das hat mit den reellen Zahlen nichts zu tun.

Wenn man auch Q den normalen Betrag | | anschaut und dann vervollständigt, so daß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert besitzt, dann kommt R raus.

Betrachtet man nun mal nen anderen Betrag, erstmal auf Z, da ist der p-Betrag: wir zählen, wie oft p als Faktor in irgendeiner Zahl n drin steckt. Das nennen wir mal v_p(n). Als Betrag |n|_p definieren wir dann p^(-v_p(n)). Bei Bruchzahlen (a/b) sagen wir v_p(a/b) = v_p(a)-v_p(b) und definieren den Betrag entsprechend. |0| setzen wir auf 0.

Man kann sich nun klar machen, daß | |_p eine Norm auf Q ist. Nun kann man sich natürlich fragen, was passiert wenn wir Cauchy-Folgen bzgl dieser Norm anschaun. Vervollständigt man bezüglich dieser Norm, so kommt nicht mehr R raus, sondern eben die p-adischen Zahlen Q_p. Durch den völlig anderen Nachbarschaftsbegriff passieren da völlig andere Dinge.

Betrachten wir zum Beispiel mal die Folge a_n := p^n. Im Reellen ist die divergent, der (Absolut-)Betrag wächst über jede Schranke. Der p-adische Betrag:
|p^n|_p = p^(-v_p(pn)) = p^(-n). Das ist ganz klar ne Nullfolge, also muß die ursprüngliche Folge auch ne Nullfolge sein. Im p-adischen geht also die Folge p^n gegen 0.

Es gibt noch mehr Merkwürdigkeiten, zum Beispiel ist | |_p ultrametrisch, das heißt es gilt eine verschärfte Dreiecksungleichung: |a+b|_p <= max{|a|_p, |b|_p}. Als Konsequenz daraus findet man zum Beispiel, daß q-adische Kugeln recht lustig sind, sie sind zugleich offen und abgeschlossen und jeder Punkt der Kugel ist Mittelpunkt.
Außerdem sieht man so, daß eine Reihe über eine Folge genau dann konvergiert, wenn die Folge Nullfolge ist. Daraus sieht man dann zum Beispiel, daß die Reihe über die p_n n=0...unendlich konvergiert.

Tatsächlich lassen sich manche Probleme in Q_p leichter lösen. Einige Aussagen über Q lassen sich beweisen, indem man sie in allen Q_p zeigt. Durch den Betrag kann in Q_p sogar Analysis machen, also Ableitungen definieren etc.

viel verständlicher als wikipedia. thx.

schrotti

Hab bei Seite 4 aufgehört und dann ab s. 10 wieder gelesen und @finix entweder sind die Zeilen 2 und 3 (von der gleichung zu anfang) kompletter Bullshit und wenn nich dann lös dat verdammte ding endlich auf bevor das hier noch komplett ausartet

SG1

Das Ding wurde doch schon laengst mehrfach aufgeloest.

Cyriz

Interessanter Thread und bei weitem kein Armutszeugnis, wie ich finde.

Von sowas lebt doch die Wissenschaft, Querdenker die immer alles anzweifeln und sich schwer davon abbringen lassen. Auch (oder gerade) wenn es sich um solche "trivialen" Axiome, Beweise oder sonstwas handelt.

Bertrand Russell schrieb:

Auch wenn alle einer Meinung sind, können alle unrecht haben.

Kopernikus war damals also auch "dumm" (per Definition), weil er es ja nicht wusste (aus sicht der Anderen). Oder doch die Anderen?
Leider bin ich auch der Meinung das $1 = 0.\overline{9}$ gilt, wahrscheinlich aus mangel an Kreativität oder "Dummheit" :).

Nochwas: meines Erachtens trifft die Definition für "dumm" von Kant eher zu.

Immanuel Kant schrieb:

[...]
Da dumme Leute gemeiniglich aufgeblasen sind und Hochmut erniedrigt zu werden verdient, so muß das Wort Dummheit auf einen aufgeblasenen Einfältigen und nicht auf einen guten, ehrlichen Einfältigen, sondern auf einen eingebildeten Narren angewendet werden
[...]

Auch aus http://www.physiologus.de/dummel.htm.

Grüße

Cyriz

Cyriz schrieb:

Von sowas lebt doch die Wissenschaft, Querdenker die immer alles anzweifeln und sich schwer davon abbringen lassen. Auch (oder gerade) wenn es sich um solche "trivialen" Axiome, Beweise oder sonstwas handelt.

Ein Axiom kannst du per Definition nicht anzweifeln. Und einen Beweis, der auf unterster Ebene auf Axiomen aufbaut, auch nicht.

finix

Optimizer schrieb:

Cyriz schrieb:

Von sowas lebt doch die Wissenschaft, Querdenker die immer alles anzweifeln und sich schwer davon abbringen lassen. Auch (oder gerade) wenn es sich um solche "trivialen" Axiome, Beweise oder sonstwas handelt.

Ein Axiom kannst du per Definition nicht anzweifeln. Und einen Beweis, der auf unterster Ebene auf Axiomen aufbaut, auch nicht.

Genau andersherum. Ein Axiom ist per Definition offen für Zweifel.

Wenn du die Mathematik erforschen willst, zweifelst du an den Axiomen nicht. Die Mathematik ist ein Gedanken-Gebilde der Menschheit in dem die Axiome einfach definiert sind. Sobald du daran zweifelst, verlässt du die Mathematik. Es steht dir natürlich frei, deine eigene Wissenschaft zu gründen.

Bashar

Der Wahrheitsgehalt eines Axioms steht außer Zweifel, aber die Frage nach dem Sinn stellt sich natürlich.