Mathe
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Hi,
weis vielleicht jemand eine einfache möglichkeit das Kreuzprodukt für einen n-dimensionalen Vektor zu berechnen?
Es würde auch mal nur eine Formel dafür genügen.
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Ist doch total easy... guck ins mathe buch !
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welche seite ?
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seite 312
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welche vector steht im R² senkrecht auf zwei vectoren?
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Original erstellt von <b7f7>:
welche vector steht im R² senkrecht auf zwei vectoren?geht gar nicht
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@<suche vormel>: Dan erklär doch erstmal wie in einem 2D- Raum ein Vektor senkrecht zu zwei anderen stehen kann. Und dann sag noch welchen der Vektoren du in einem 4D Raum haben willst, da dort mehr als einer Senkrecht zu zwei anderen stehen kann.
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Spart Euch die Mühe, ich habe die Frage gestern im ZFX-Forum schon ausführlich beantwortet, kurz danach hat er dann hier gepostet. Vielleicht hat er's nicht kapiert, aber zum Nachfragen ist man zu faul.
MfG Jester
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du schreibst, du studierst mathe nicht als hauptfach. was dann?
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Informatik
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Original erstellt von Helium:
@<suche vormel>: Dan erklär doch erstmal wie in einem 2D- Raum ein Vektor senkrecht zu zwei anderen stehen kann.Die anderen beiden sind parallel zueinander?
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Zunächst mal: Man kann auch höherdimensionale Vektorräume betrachten. Zum Beispiel die Folgen und auch die Polynome bilden bei gewöhnlicher Addition und komponentenweiser Multiplikation mit Skalaren einen unendlichdimensionalen(!) Vektorraum. Da können dann ziemlich abgefahrene Sachen passieren... aber egal.
Wenn wir in einem n-dimensionalen Raum sind und dort m linear unabhängige Vektoren haben, so gilt:
Der Orthogonalraum hat die Dimension n-m. Im Falle n=m ist das orthogonale Komplement also der Nullraum. Im 3-dimensionalen haben wir den großen Vorteil, daß es zu 2 Vektoren ind 3D wegen 3-2=1 einen 1-dimensionalen senkrechten Raum gibt. Davon bestimmen wir einen Basisvektor und nennen diesen das Kreuzprodukt. Im n dimensionalen bräuchten wir also n-1 Vektoren um den Orthogonalraum eindimensional zu machen.
Aber es gibt tatsächlich ein Verfahren um eine solche Basis zu bestimmen und zwar für den Fall n-dimensional und m-dimensionaler Raum zu dem das orthogonale Komplement gesucht ist.
Das Teil heißt Gram-Schmidt. Man bestimmt damit eine Orthonormalbasis des Vektorraums (eine Basis, deren Vektoren alle senkrecht aufeinander stehen und die jeweils die Länge 1 haben).
Dann läßt man einfach diejenigen Vektoren der ONB, die aus den m Startvektoren hervorgegangen sind weg und hat eine wunderschöne Basis für das orthogonale Komplement.Das Verfahren ist iterativ, man gewinnt immer aus den vorherigen Vektoren den nächsten. Die Formel wird dadurch halt immer länger.
b_n+1 = x_n+1 - Summe[i=1..n](<x_n+1, b_i>*b_i)
Anschließend muß das neu gewonne b_n+1 noch normalisiert werden, bevor es zum nächsten Iterationsschritt geht.
Dabei bezeichnet <.,.> das Skalarprodukt.Man wählt die Vektoroen x_i am besten so: x_1 bis x_m sind die Vektoren von denen man den Orthogonalraum haben möchte.
Für die restlichen verwendet man eine beliebige Ergänzung dieser Vektoren zu einer vollen Basis des Raums. Dann einfach nach Abschluß des Verfahrens die "neuen" Basisvektoren b_1...b_m wegwerfen, der Rest ist der Orthogonalraum. Mit feinen Vektoren, die alle Senkrecht stehen.
Mir fällt grad auf, daß es vielleicht etwas kürzer geht, aber da muß ich erst drüber nachdenken.
MfG Jester