3. Wahrscheinlichkeitsrechnugn aufgabe

Wahrscheinlichkeitsrechnugn aufgabe

  • ?

    Hi Leutz,
    die Aufgabe lautet folgendermaßen:

    Einsatz 20 Euro
    je gewonnenes Spiel 1/4 des Einsatzes zurück.

    Spiel 1: Lotto "4 aus 20"
    - Ereignis 1: 4 Richtige -> G(Ereignis 1) = 200 Euro
    - Ereignis 2: 3 Richtige -> G(Ereignis 2) = 10 Euro

    Spiel 2: Spitzmausrennen mit 10 Teilnehmern
    - Ereignis 1: Plätze 1-3 in der richtigen Reihenfolge -> G(Ereignis 1) = 20 Euro
    - Ereignis 2: Plätze 1-3 in beliebiger Reihenfolge -> G(Ereignis 2) = 10 Euro

    Spiel 3: 5 Würfel (Ziffern 1-6)
    - Ereignis 1: Augensumme 10 -> G(Ereignis 1) = 10 Euro

    Bonus = 2000 Euro (wenn alle Spiele gewonnen wurden)

    a) Berechnen Sie den Erwartungswert des Spielers.

    Mein Lösungsansatz:

    Spiel 1:

    Ereignis 1: 4!/((4-3)!*3!)*16!/((16-1)!*1!) = 64
    Ereignis 2: = 1
    m = 20!/((20-4)!*4!) = 4845

    E1(x) = 64/4845*(10+5) - 4781/48454
    E2(x) = 1/4845    (200+5) - 4844/4845*4

    Das ist mein Ansatz für das erste Spiel. Der ist aber falsch. Kann mir jemand erklären was ich falsch mache und wo meine Logikfehler sind. Ich checks einfach nicht. Ich danke euch!
    Mfg

    needhelp

    0
  • K

    Meine Lösung

    EINZELBETRACHTUNG

Spiel 1
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Insgesamt gibt es (20 * 19 * 18 * 17) = 20! / 16! Möglichkeiten, die vier Zahlen zu ziehen.
Angenommen, folgende Zahlen seien richtig:
6 9 11 17
Vier Richtige: Nur Vertauschungen der richtigen Zahlen kommen in Frage, daher
P4 = 4! / (20 * 19 * 18 * 17) = 1 / 4845
Drei Richtige und eine Falsche:
Folgende Möglichkeiten existieren
6 9 11  x    16 (wegen x) * 4! (wegen Vertauschungen) Möglichkeiten
6 9  x 17    16 (wegen x) * 4! (wegen Vertauschungen) Möglichkeiten
6 x 11 17    16 (wegen x) * 4! (wegen Vertauschungen) Möglichkeiten
x 9 11 17    16 (wegen x) * 4! (wegen Vertauschungen) Möglichkeiten
Zusammen also 4 * 16 * 4! = 64 * 4!, daher
P3 = 64 * 4! / (20 * 19 * 18 * 17) = 64 * P4 = 64 / 4845
Gewinnerwartung:
E1,1 = P4 * 200 EUR = 200 / 4845 EUR
E1,2 = P3 *  10 EUR = 640 / 4845 EUR
E1 = E1,1 + E1,2 + (P3 + P4) * 5 EUR = 840 / 4845 EUR + 5 * 65 / 4845 EUR = 233 / 696 EUR

Spiel 2
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Insgesamt gibt es 10! Möglichkeiten, wie die Mäuse ankommen.
Bspw. Ankunft 6 7 9 x x x x x x x
3 Richtige mit Reihenfolge:
P3m = 1 * 1 * 1 * 7! / 10! = 1 / 720
3 Richtige ohne Reihenfolge:
3! = 6 Vertauschungsmöglichkeiten für die ersten drei, jedoch muß die korrekte Reihenfolge (eine Möglichkeit) ausgeschlossen werden! Daher
P3o = (3! - 1) * P3m = 5 / 720
E2,1 = P3m * 20 EUR = 20 / 720 EUR
E2,2 = P3o * 10 EUR = 50 / 720 EUR
E2 = E2,1 + E2,2 + (P3m + P3o) * 5 EUR = 70 / 720 EUR + 6 * 5 / 720 EUR = 5 / 36 EUR

Spiel 3
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Insgesamt gibt es 6^5 = 7776 Möglichkeiten, wie die Würfel fallen.
Für Summe=10 existieren folgende Möglichkeiten:
1 1 1 1 6    5 Möglichkeiten
1 1 1 2 5    5! / 3! Möglichkeiten
1 1 1 3 4    5! / 3! Möglichkeiten
1 1 2 2 4    5! / 2! / 2! Möglichkeiten
1 1 2 3 3    5! / 2! / 2! Möglichkeiten
1 2 2 2 3    5! / 3! Möglichkeiten
2 2 2 2 2    1 Möglichkeit
Zusammen also 5 + 3 * (5! / 3!) + 2 * (5! / 2! / 2!) + 1 = 126, daher
P10 = 126 / 7776 = 7 / 432
E3 = P10 * 10 EUR + P10 * 5 EUR = 105 / 432 EUR = 35 / 144 EUR

GESAMTERWARTUNG:
E = E1 + E2 + E3 + (P3 + P4) * (P3m + P3o) * P10 * 2000 EUR =
  = 233 / 696 EUR + 5 / 36 EUR + 35 / 144 EUR + 65 / 4845 * 6 / 720 * 7 / 432 * 2000 EUR
  = 0,72033767855016802266603578537911 EUR
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