Wozu braucht man eigentlich eine Determinante?

Hallo zusammen,
wir haben neulich Determinanten drchgenommen und ich raff einfach nicht was die sollen. Ich hab echt super aufgepasst, aber uns wurde nur gezeigt wie wir sie bestimmen, nicht wofür sie gut sind. Kann mir jemand von euch erklären was es damit auf sich hat?

Danke,

*ACDC*

Beispiele sind Punkt (7) und (8) in
http://miss.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node45.html

http://www.ct-webspace.de/linearealgebra/lineare_algebra_grundlagennode85.html

fubar

Determinanten braucht man z.B. auch bei Differentialgleichungssystemem (Wronski-Determinante) oder bei Eigenwertproblemen (charakteristisches Polynom) usw. (wahrscheinlich noch nicht in der Schule, aber vielleicht später )
Also keine Schikane des Lehrers, sondern durchaus sinnvoll

P.S.: Auch in math. Beweisen greift man öfters darauf zurück...

Determinanten sind ein perfektes Beispiel dafür, wie unsinnig einem manches in der Mathematik anfangs vorkommt.

Einen Hauptgrund warum Determinanten wichtig sind gibt es einfach nicht.

Aber Determinanten kommen z.B. häufiger mal vor...

als Bedingungen in Sätzen. ("Für die Determinante einer nxn Matrix A gelte Eigentschaft B. Dann gilt für die Matrix Eigenschaft C")
Konkrete Beispiele sind oben schon genannt. Also Lineare Unabhängigkeit der Spalten- und Zeilenvektoren, Invertierbarkeit, Regularität der Matrix und somit eindeutige Lösbarkeit mit Gauß-Algorithmus. (Hier alles wenn det(A) = 0).
Oder in der Analysis: Die hinreichenden Kriterien für Hoch- und Tiefpunkte für einstellige Funktionen sind dir sicher bekannt. Solche Kriterien gibt es auch für Funktionen f : R x R -> R deren Graph einem 3D Gebirge ähnelt. Für dieses Kriterium muss eine bestimmte Matrix gebildet und deren (Hauptunter-)Determinante(n) untersucht werden.
in Formeln oder Gleichungen. Der Wert der Determinante wird hier also direkt genutzt und dient nicht nur um die Gültigkeit einer Voraussetzung irgendwelcher Sätze zu untersuchen.
Wieder aus der Analysis und wieder eine Funktion f : R x R -> R :
Angenommen du willst über einem Gebiet integrieren das dir zu kompliziert ist. Dann kannst du unter Umständen eine Matrix suchen, welche dir deine Punkte (als Vektoren betrachtet) auf ein einfacheres Gebiet abbilden (z.B. Quadrat). In der Formel hierfür taucht die Determinante dieser Matrix verblüffenderweise ebenfalls auf.

Finde dich damit ab, dass dir Determinanten immer wieder begegnen werden und es keinen ultimativen Allzweckgrund für sie gibt

japro

eine hübsche anwendung ist es auch das volumen eines spates damit zu berechnen... man nimmt einfach 3 kanten her (3d vektoren) und kann wenn man dann per determinantedas vlumen ausrechnen also:
a = 1. vektor
b = 2. vektor
c = 3. vektor

dann ist das volumen des zugehörigen spates:

|a1 b1 c1|
|a2 b2 c2|
|a3 b3 c3|

...