Ableitung der Betragsfunktion?



  • Hallo!
    Ich schreibe derzeit an einer Mathematiklibrary und implementiere gerade sämtliche Ableitungsregeln. Bis jetzt klappt das auch ganz gut. Nur bei zwei Funktionen kommen Zweifel auf:

    1. Betragsfunktion
    2. Integer-Funktion

    Die beiden Funtkionen sind nicht in ganz R differenzierbar (oder liege ich falsch?). Was ist mit den anderen Stellen?

    Danke schonmal im Voraus für alle Antworten!



  • 1. die betragsfunktion ist an der stelle 0 nicht diffbar. an allen anderen stellen ist die ableitung vermutlich die signumfunktion.

    edit: die signumfunktion ist meines wissens definiert durch sign(x)=xxx0,sign(0)=0sign(x)=\frac{|x|}{x}\;\;\; x\neq 0,\;\;\;\; sign(0)=0



  • 2. Falls du mit Integer-Funktion f:RR,xxf : \mathbb R \mapsto \mathbb R,\, x \mapsto \lfloor x \rfloor meinst, so ist diese Funktion nicht diff'bar für alle xZx \in \mathbb Z und ansonsten ist die Ableitung 0\equiv 0



  • Ok, danke für die Antworten. Eine weitere Regel für Ableitungen fehlt mir noch:
    Angenommen man hat einen Ausdruck, wie z.B. f(x)=axf(x) = a^x, dann wäre ja die Ableitung nach x f(x)=lnaaxf'(x) = \ln a \cdot a^x. Was ist nun aber, wenn a ein Ausdruck ist, der wiederum die Variable x enthält? Also zum Beispiel die Funktion f(x)=(2x2+6x)xf(x) = (2x^2+6x)^x.



  • Schreibe (f(x))x(f(x))^x als exlnf(x)e^{x \ln f(x)}.



  • sei
    g(x)=(f(x))^x
    =>
    g'(x)=(f'(x)*(f(x))^x))/f(x)



  • Nö, g(x)=f(x)x(lnf(x)+xf(x)f(x))g'(x)=f(x)^x \left( \ln f(x) + \frac {xf'(x)} {f(x)}\right).



  • hallo

    $ {\Huge \mid x\mid=\sqrt{x^2}$ abgeleitet: $\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\mid x\mid}=sgn(x)$}


  • fubar schrieb:

    Nö, g(x)=f(x)x(lnf(x)+xf(x)f(x))g'(x)=f(x)^x \left( \ln f(x) + \frac {xf'(x)} {f(x)}\right).

    Nach welcher Regel wird das gemacht? Hast Du dazu einen Link, z.B. bei Wikipedia oder so?

    lookias schrieb:

    $ {\Huge \mid x\mid=\sqrt{x^2}$ abgeleitet: $\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\mid x\mid}=sgn(x)$}

    Mist, darauf hätte ich auch kommen können 🙄 Danke! 🙂

    P.S.: Es wird bald eine Online-Demo geben, in der man das Programm dann zum Ableiten benutzen kann.



  • (f(x))x=exlnf(x)(f(x))^x=e^{x \ln f(x)}
    Dann kannst du mit Kettenregel und Produktregel die Ableitung bestimmen ...



  • nix zu danken.

    es wuerde auch so gehen

    $\mid x\mid =sgn(x)*x$ abgeleitet: $0.x+sgn(x)*1=sgn(x)$

    man muesste dann nur per definition zeigen dass die ableitung in 0 nicht def. ist.

    das is aber langweilig 😉



  • fubar schrieb:

    (f(x))x=exlnf(x)(f(x))^x=e^{x \ln f(x)}
    Dann kannst du mit Kettenregel und Produktregel die Ableitung bestimmen ...

    Ok, jetzt komme ich auch auf:
    g(x)=f(x)x(lnf(x)+xf(x)f(x))g'(x)=f(x)^x \left( \ln f(x) + \frac {xf'(x)} {f(x)}\right)

    Danke für alle Antworten. Hat mir sehr geholfen...



  • Hi,

    ohne jetzt alles gelesen zu haben, scheint ihr die Ableitung der abs-Funktion
    nicht so ganz richtig zu machen. So ist ja z.B abs(x^2) überall diffbar,
    insbesondere auch in 0.

    Jockel



  • Jockelx schrieb:

    Hi,

    ohne jetzt alles gelesen zu haben, scheint ihr die Ableitung der abs-Funktion
    nicht so ganz richtig zu machen. So ist ja z.B abs(x^2) überall diffbar,
    insbesondere auch in 0.

    Jockel

    das ist hier insbesondere die folge davon dass der rechtsseitige und linksseite grenzwertt dieser fkt gegen null geht und sgn(+0)=sgn(-0)=0

    noch spezieller in deinem bsp ist ja abs(x2)=x2 aber zb bei x^3 gilt das mit der 0

    versuch das selbe mit einer fkt bei der das nicht so ist, die aber verschiedenes vorzeichen hat zb abs(sin(x)) da hat man in 0 auch keinen erfolg

    man muss halt nach definition gehen

    btw mir faellt gerade auf das maple abs(sqrt(x)) auch im negativen bereich der x-achse plottet, muss wohl daran liegen dass ,maple einfach die funktionenreihenfolge vertauscht 😕



  • lookias schrieb:

    versuch das selbe mit einer fkt bei der das nicht so ist, die aber verschiedenes vorzeichen hat zb abs(sin(x)) da hat man in 0 auch keinen erfolg

    Okay:

    x^2 für x >= 0
    f(x) = 
           -x^2 für x < 0
    

    Jockel



  • also die funktion hat auch anstieg 0 in 0

    das ist aber auch der einzige fall bei dem der anstieg sein vorzeichen wechselt, in dem punkt, und die ableitung stegig dort ist



  • lookias schrieb:

    also die funktion hat auch anstieg 0 in 0

    Die Bedingung hatte ich nicht gesehen. So macht es mehr Sinn.
    Probleme bereiteten aber noch Funktionen, die nicht diffbar sind,
    deren Betrag aber sehrwohl:

    1 x aus Q
    f(x) = 
           -1 x aus R/Q
    

    Naja, wird für den Fragesteller wohl eh uninteressant sein.

    Jockel



  • nun

    wenn f(x) eine eigenschaft hat

    dann muss nicht f(g(x)) oder g(f(x)) dieselbe eigenschaft haben

    insbesondere nicht bei der ableitung, wegen f'(g(x))*g'(x)

    sind doch immernoch die eigenschaften beider funktionen wichtig,

    in deinem bsp hebt sich die "negative" eigenschaft halt auf.

    genauso wenn du in abs(x) x mit x^2 ersetzt



  • Wir reden aneinander vorbei.

    Es ging damit los, dass gesagt wurde abs(f(x)) sei nicht diffbar in
    x mit f(x) = 0.

    Das habe ich widerlegt, worauf hin die Einschränkung
    "ausser wenn Steigung = 0 ist" kam. Welche ebenfalls widerlegt wurde.

    Ich weiss gar nicht, worüber wir hier noch reden?

    Jockel



  • hackbert schrieb:

    Hallo!
    Ich schreibe derzeit an einer Mathematiklibrary und implementiere gerade sämtliche Ableitungsregeln. Bis jetzt klappt das auch ganz gut. Nur bei zwei Funktionen kommen Zweifel auf:

    1. Betragsfunktion
    2. Integer-Funktion

    Die beiden Funtkionen sind nicht in ganz R differenzierbar (oder liege ich falsch?). Was ist mit den anderen Stellen?

    Danke schonmal im Voraus für alle Antworten!

    betragsfunktion sieht bei mir so aus abs(x)

    abs(f(x)) war dein einwurf, und darum gehts ja hier oder?

    steigung 0 ist in diesem speziellen fall so, nicht allgemein.
    scheint wirklich so als wuerden wir aneindar vorbeireden.


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