größten gemeinsamen Teiler (ggT) - Frage

Hallo, ich hätte da eine Frage zur oben gennanten Thema.

Der ggT lässt sich mit dem euklidischen Algorithmus berechnen.
Dieser leutet

euclied( a, b )
wenn b = 0
  dann return a
  sonst return euclied( b, a mod b )

Der Code Funktioniert so, leider weiß ich nicht warum ich es bei jedem 2 Durchlauf die Variablen a und b vertauschen muss.
Kann mir das einer 'mathematisch' erklären?

Danke

ich meine natürlich bei jedem Durchlauf

volkard

Nehmen wir mal an, daß a!=b ist. Wenn sie gleich sind, wissen wir den GGT schon.
Nehmen wir mal weiter an, daß a größer als b ist. Wenn das nicht der Fall ist, vertauschen wir die beiden vorher mal.
Der mathematische Trick:
Wenn a und b durch x teilbar sind, dann ist auch a%b durch x teilbar.
a%b ist kleiner als b.
Auf der Suche nach dem GGT(26,16) verwende ich den Trick und sage mir, der GGT(26,16) ist ja gleich dem GGT(16,26%16) also GGT(16,10).
Das mache ich gleich nochmal. GGT(16,10)=GGT(10,6).
Und nochmal: GGT(10,6)=GGT(6,4). GGT(6,4)=GGT(4,2). GGT(4,2)=GGT(2,0).
oh, b ist 0 geworden. weil die 4 durch 2 teilbar war. ja, dann ist die 2 der GGT(4,2). Deswegen also die Abfrage, ob b gleich 0 ist.