Matherätsel! 0.999... == 1
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[quote="Bashar"]Was würde es helfen, sich Unendlichkeit vorstellen zu können? Mathematik funktioniert letztendlich hauptsächlich deshalb, weil man mit Abstraktionen arbeitet. Sonst wär sie noch nicht über eins, zwei, viele hinausgekommen.[/quote]
das hab ich auch nie bestritten und ohne mathematik würde auch unsere gesellschaft so nicht existieren.
[quote="finix"]
"[U]nendlichkeit vorstellen"?[/quote]was ist daran so schwer zu verstehen, ich bezweifel das sich hier irgendwer eine unendlich lange zahl vorstellen kann?! und das ist der punkt, wir beschreiben für uns mit dem geschlossenen system mathematik die unendlichkeit. aber wie will man sowas überprüfen?
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toostuff schrieb:
aber wie will man sowas überprüfen?
Wie will man überprüfen, dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat?
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toostuff schrieb:
was ist daran so schwer zu verstehen, ich bezweifel das sich hier irgendwer eine unendlich lange zahl vorstellen kann?!
Naja, bei mir hört es da schon etwas früher auf. Ich kann mir auch 3 nicht vorstellen, sqrt(2) nicht, pi nicht. Ich kann mir ganz banale Zahlen nicht vorstellen. Ich kann aber verstehen, daß drei Streichhölzer und vier Streichhölzer zusammen sieben Streichhölzer geben und daß drei Wurstsemmeln und vier Wurstsemmeln sieben Wurstsemmeln geben. So kann ich kleine natürlich Zahlen "verstehen", wenn man so will: ich stelle mir immer vor, ich rechne mit Wurstsemmeln. Das bringt mich aber auch nicht weiter, wenn ich mir 10^100 vorstellen soll. Das wäre eine Zahl, die so groß ist, daß sie vermutlich nicht in Wurstsemmeln vorstellen kann. Nicht mal in Atomen im Universium vielleicht. Also gibt es 10^100 nicht? Ist doch Schmarrn.
sqrt(2) hat auch im Dezimalsystem unendlich viele Stellen und ich kann mir das deswegen nicht vorstellen. vorstellen kann ich mir aber die Seitenlänge eines Quadrats mit Fläche 2. So what?
pi ist noch schlimmer. Kann sich jemand pi vorstellen? Wie groß ist so ein pi, welche Farbe hat es, kann ein pi fliegen? Wie stellst Du dir so etwas vor.
und das ist der punkt, wir beschreiben für uns mit dem geschlossenen system mathematik die unendlichkeit. aber wie will man sowas überprüfen?
Wie will man überprüfen, ob die Gesetze der Addition für Zahlen > 10^100 noch funktionieren? Streichhölzer hintereinanderlegen tut's nicht mehr.
Das ist doch gerade der Punkt: ich definiere mir ein paar Sachen und treibe damit meine Späße. Nein, ich kann nicht beweisen, daß die Gesetze der Addition für 10^100 noch richtig sind. So what? Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, Additionen sagt mir, wie ich einen solchen Nachfolger finde. That's it. Wenn sich Streichhölzer irgendwann nicht mehr so verhalten, dann ist mir das egal. Ich bin von den Streichhölzern weg. Ich arbeite mit der Abstraktion "Natürliche Zahl", die in der Natur so meinetwegen nicht vorkommt, sondern nur dazu genutzt werden kann, bestimmte Vorgänge zu beschreiben.
Reelle Zahlen genau so: "gibt" es überhaupt so etwas, wie reelle Zahlen in der Natur? Mir egal, ich habe mir reelle Zahlen definiert und dann arbeite ich damit.
Mathematik ist nicht die Wissenschaft des Richtigen, sondern des Folgerichtigen. Ich habe ein paar Grundannahmen und daraus kann ich verschiedene Schlüße ziehen. Gut, man kann kein System bauen, das hinreichend mächtig und vollständig ist, Gödelscher Unvollständigkeitssatz. Ich kann aber trotzdem richtige Schlüße ziehen. Es gibt auch einen Vollständigkeitssatz von Gödel.
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Naja, was heißt überprüfen. Das ganze basiert auf gewissen Annahmen, nämlich Axiomen. Die sind meist so einfach, daß man sie gerne glaubt. Und daraus leitet sich alles weitere ab. Unter Annahme dieser Axiome ist 0.999... = 1.
Sich darüber zu Unterhalten wie es nun "in Wirklichkeit" ist, ist nicht wirklich sinnvoll. Viele Aussagen kann man erst treffen wenn man sich über ein paar Grundannahmen geeinigt hat. Was soll denn überhaupt ne reelle Zahl sein etc.
Beispielsweise gibt's die Peano-Axiome, die sagen was die natürlichen Zahlen sind und wie die funktionieren. Die sind sehr einfach und beschreiben genau das, was wir uns drunter vorstellen. Aber ob das der Wirklichkeit entspricht können wir natürlich nicht wirklich sagen. Mit den Peano-Axiomen und ner darauf basierenden Definition von + kann man leicht nachrechnen, dass 10000000000 Äpfel + 10000000000 Äpfel = 20000000000 Äpfel sind. Prima. Dennoch hat noch nie jemand überprüft (so vermute ich), ob das in Wirklichkeit auch so funktioniert. Vermutlich schon.
Zumindest sind die Resultate plausibel, es paßt mit unserer Vorstellung zusammen und es sind noch keine Widersprüchlichkeiten aufgetreten.
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Walli schrieb:
toostuff schrieb:
aber wie will man sowas überprüfen?
Wie will man überprüfen, dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat?
Chuck Norris counted to infinity - twice.
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So - dann hätt' ich mal 'ne Frage:
wenn 0.999... = 1 ist, dann ja auch das Quadrat.
Der Ausdruck 0.999 - 0.999^2 sollte also Null sein.
Gehen wir jetzt mal in die Summendarstellung.dann ist 0.999... - 0.999...^2
= 9/10 + 9/100 + ... = 99/100 + 99/10000 + ...
minus
81/100 + 81/10000 + ...das ist
18/100 + 18/10000 + ...
= 0.181818...und - da ist ja wohl nix falsch dran!
Was nun?
Das Resultat sagt eindeutig, dass 0.999... kleiner als 1 ist, denn nur dann erhalte ich ein positives Ergebnis.
Sagt nur nicht, ich dürfte 0.999 nicht quadrieren - dann darf ich es auch nicht mal 10 nehmen...Ich denke, dass dies ein absoluter legaler Beweis dafür ist, dass es nicht 1 ist! (ein sehr schöner sogar
)
Tja...
Jeeeeeeester....help
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Bitsy schrieb:
minus
81/100 + 81/10000 + ...Quadrieren sollte man schon richtig.
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Bitsy schrieb:
dann ist 0.999... - 0.999...^2
= 9/10 + 9/100 + ... = 99/100 + 99/10000 + ...
minus
81/100 + 81/10000 + ...Aber dass 0.999..² größer sein müßte als 0.99² = 0.9801, darüber sind wir uns doch einig?
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0.9² = 0.81
0.09² = 0.0081(0.9 + 0.09)² = 0.9² + 2*0.9*0.09 + 0.09²
das liegt an der ersten binomischen formel, glaube ich. den mittleren term darf man nicht wegwerfen, das gildet nicht. tut man es doch machen, sinkt die glaubwürdigkeit des beweises ein wenig.
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nman schrieb:
Ich höre heute noch ihr "Naja, wenn Du 1-0,999... ausrechnest, dann kommt dir eben 0 komma unendlich oft 0 und dann noch ein Einser gaaanz am Ende heraus".
was is daran falsch? was kommt denn dann raus?
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this->that schrieb:
nman schrieb:
Ich höre heute noch ihr "Naja, wenn Du 1-0,999... ausrechnest, dann kommt dir eben 0 komma unendlich oft 0 und dann noch ein Einser gaaanz am Ende heraus".
was is daran falsch? was kommt denn dann raus?
meon bruder hat es mir so erklärt, glaub ich:
wenn du die 1 hinter unendlich vielen nullen hinschreiben willst, dann kann das gar nicht gehen. und selbst wenn es ginge, die könntest du nie erreichen. kannst ja unendlich viele stellen nach rechst gehen und hast dort ne 0. kannst nicht mehr als unendlich weit nach rechts gehen. also ist die 1 da sowas von wirksam versteckt, daß sie gar nicht da ist.
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Naja schon, aber ganz falsch ist es ja irgendwie auch nicht.
1-0.9 = 0.1
1-0.99 = 0.01
1-0.999 = 0.001es werden also in der Tat immer mehr Nuller und am Ende eine 1. Und wenn man sich das dann so vorstellt wird man hier gleich als dumm bezeichnet. Finde sowas ziemlich unangebracht und ehrlich gesagt arrogant.
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this->that schrieb:
Naja schon, aber ganz falsch ist es ja irgendwie auch nicht.
1-0.9 = 0.1
1-0.99 = 0.01
1-0.999 = 0.001
es werden also in der Tat immer mehr Nuller und am Ende eine 1. Und wenn man sich das dann so vorstellt wird man hier gleich als dumm bezeichnet. Finde sowas ziemlich unangebracht und ehrlich gesagt arrogant.dumm im sinne von unwissend ist sogar das treffende wort. und das ist ja auch kein problem. dann lernt man halt dazu und ist nicht mehr dumm in diesem punkt.
es kommt ja dann auch immer recht schnell ein ganz toll nichtwiederlegbarer beweis, daß 0.999... = 1 und das muß man dann einsehen mangels alternativen.
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SG1 schrieb:
Bitsy schrieb:
minus
81/100 + 81/10000 + ...Quadrieren sollte man schon richtig.
aaaargh... - irgendwas ist immer...
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this->that schrieb:
1-0.9 = 0.1
1-0.99 = 0.01
1-0.999 = 0.001es werden also in der Tat immer mehr Nuller und am Ende eine 1.
Das ist doch einfach eine Grenzwertbetrachtung von 1 / 10^n mit n gegen unendlich. Und das nun mal 0. Beweise dafür findet man auch wieder in beliebigen Mathebüchern. f'`8k
Gruß, TGGC (\-/ has leading)
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this->that schrieb:
Naja schon, aber ganz falsch ist es ja irgendwie auch nicht.
1-0.9 = 0.1
1-0.99 = 0.01
1-0.999 = 0.001es werden also in der Tat immer mehr Nuller und am Ende eine 1. Und wenn man sich das dann so vorstellt wird man hier gleich als dumm bezeichnet. Finde sowas ziemlich unangebracht und ehrlich gesagt arrogant.
Das stimmt aber nur solange die Folge von Neunen endlich ist. Die Zahl 0,0...1 existiert ganz einfach nicht.
Und es hat auch niemand (oder zumindest ich nicht) gesagt das die Leute die's nicht wissen zwangsläufig dumm sind. Wäre das nicht so hochgradig unintuitiv hätte ich das wohl nicht in der Form gepostet; aber einsichtig sollte das ganze schon sein.
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finix schrieb:
Und es hat auch niemand (oder zumindest ich nicht) gesagt das die Leute die's nicht wissen zwangsläufig dumm sind.
Dumm steht unter anderem für unwissend (http://www.physiologus.de/dumm.htm). Daher ist "Leute die's nicht wissen" definitionsgemäß dumm. f'`8k
AutocogitoGruß, TGGC (\-/ has leading)
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TGGC schrieb:
finix schrieb:
Und es hat auch niemand (oder zumindest ich nicht) gesagt das die Leute die's nicht wissen zwangsläufig dumm sind.
Dumm steht unter anderem für unwissend (http://www.physiologus.de/dumm.htm). Daher ist "Leute die's nicht wissen" definitionsgemäß dumm. f'`8k
Genial. Damit wäre das Wort 'dumm' "definitionsgemäß" bedeutungslos.
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finix schrieb:
Genial. Damit wäre das Wort 'dumm' "definitionsgemäß" bedeutungslos.
nö. allenfalls könntest du herleiten, daß dumme leute nicht glauben, dumm zu sein. ich denke, das gehört zum beobachtbaren teil der welt.
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this->that schrieb:
Und wenn man sich das dann so vorstellt wird man hier gleich als dumm bezeichnet. Finde sowas ziemlich unangebracht und ehrlich gesagt arrogant.
Hat hier niemand getan, ich glaube das Wort "dumm" hat nur TGGC gebraucht. Und wenn sich das eine Mathematik-Lehrerin so vorstellt, dann ist es vielleicht sogar angemessen.
