Matherätsel! 0.999... == 1

SG1 schrieb:

Bitsy schrieb:

minus
81/100 + 81/10000 + ...

Quadrieren sollte man schon richtig.

aaaargh... - irgendwas ist immer...

TGGC

this->that schrieb:

1-0.9 = 0.1
1-0.99 = 0.01
1-0.999 = 0.001

es werden also in der Tat immer mehr Nuller und am Ende eine 1.

Das ist doch einfach eine Grenzwertbetrachtung von 1 / 10^n mit n gegen unendlich. Und das nun mal 0. Beweise dafür findet man auch wieder in beliebigen Mathebüchern. f'`8k

Gruß, TGGC (\-/ has leading)

finix

this->that schrieb:

Naja schon, aber ganz falsch ist es ja irgendwie auch nicht.
1-0.9 = 0.1
1-0.99 = 0.01
1-0.999 = 0.001

es werden also in der Tat immer mehr Nuller und am Ende eine 1. Und wenn man sich das dann so vorstellt wird man hier gleich als dumm bezeichnet. Finde sowas ziemlich unangebracht und ehrlich gesagt arrogant.

Das stimmt aber nur solange die Folge von Neunen endlich ist. Die Zahl 0,0...1 existiert ganz einfach nicht.

Und es hat auch niemand (oder zumindest ich nicht) gesagt das die Leute die's nicht wissen zwangsläufig dumm sind. Wäre das nicht so hochgradig unintuitiv hätte ich das wohl nicht in der Form gepostet; aber einsichtig sollte das ganze schon sein.

TGGC

finix schrieb:

Und es hat auch niemand (oder zumindest ich nicht) gesagt das die Leute die's nicht wissen zwangsläufig dumm sind.

Dumm steht unter anderem für unwissend (http://www.physiologus.de/dumm.htm). Daher ist "Leute die's nicht wissen" definitionsgemäß dumm. f'`8k

Autocogito

Gruß, TGGC (\-/ has leading)

finix

TGGC schrieb:

finix schrieb:

Und es hat auch niemand (oder zumindest ich nicht) gesagt das die Leute die's nicht wissen zwangsläufig dumm sind.

Dumm steht unter anderem für unwissend (http://www.physiologus.de/dumm.htm). Daher ist "Leute die's nicht wissen" definitionsgemäß dumm. f'`8k

Genial. Damit wäre das Wort 'dumm' "definitionsgemäß" bedeutungslos.

volkard

finix schrieb:

Genial. Damit wäre das Wort 'dumm' "definitionsgemäß" bedeutungslos.

nö. allenfalls könntest du herleiten, daß dumme leute nicht glauben, dumm zu sein. ich denke, das gehört zum beobachtbaren teil der welt.

nman

this->that schrieb:

Und wenn man sich das dann so vorstellt wird man hier gleich als dumm bezeichnet. Finde sowas ziemlich unangebracht und ehrlich gesagt arrogant.

Hat hier niemand getan, ich glaube das Wort "dumm" hat nur TGGC gebraucht. Und wenn sich das eine Mathematik-Lehrerin so vorstellt, dann ist es vielleicht sogar angemessen.

finix

volkard schrieb:

finix schrieb:

Genial. Damit wäre das Wort 'dumm' "definitionsgemäß" bedeutungslos.

nö. allenfalls könntest du herleiten, daß dumme leute nicht glauben, dumm zu sein. ich denke, das gehört zum beobachtbaren teil der welt.

Um, nein. Lies dir nochmal durch was TGGC geschrieben hat.

TGGC

volkard schrieb:

finix schrieb:

Genial. Damit wäre das Wort 'dumm' "definitionsgemäß" bedeutungslos.

nö. allenfalls könntest du herleiten, daß dumme leute nicht glauben, dumm zu sein. ich denke, das gehört zum beobachtbaren teil der welt.

Volkard, ich liebe dich!

Gruß, TGGC (\-/ has leading)

queer_boy

ich kann mich dunkel erinnern, vor langer, langer zeit etwas über zahlen gelesen zu haben, die eine periode links vom komma besitzen und ganz interessante eigenschaften haben; allerdings fällt mir weder name noch sonst etwas dazu ein, womit ich googlen könnte. irgendeinen hinweis?

ging auf einen netten beweis zu like ...9999 + 1 = 0

Bashar

queer_boy schrieb:

ich kann mich dunkel erinnern, vor langer, langer zeit etwas über zahlen gelesen zu haben, die eine periode links vom komma besitzen und ganz interessante eigenschaften haben; allerdings fällt mir weder name noch sonst etwas dazu ein, womit ich googlen könnte. irgendeinen hinweis?

p-adische Zahlen?

queer_boy

Bashar schrieb:

p-adische Zahlen?

hm, sieht wohl so aus. auch wenn ich es damals didaktisch besser aufbereitet zu gesicht bekommen habe, als im wikipediaartikel dazu...

DEvent

queer_boy schrieb:

ich kann mich dunkel erinnern, vor langer, langer zeit etwas über zahlen gelesen zu haben, die eine periode links vom komma besitzen und ganz interessante eigenschaften haben; allerdings fällt mir weder name noch sonst etwas dazu ein, womit ich googlen könnte. irgendeinen hinweis?

ging auf einen netten beweis zu like ...9999 + 1 = 0

Das musst du mir mal erklären: Also Unendlich+1 wird zu 0?? Hatten wir nicht vorhin geklärt das Unendlich+1 immernoch Unendlich ist?

Bashar

DEvent schrieb:

queer_boy schrieb:

ging auf einen netten beweis zu like ...9999 + 1 = 0

Das musst du mir mal erklären: Also Unendlich+1 wird zu 0?? Hatten wir nicht vorhin geklärt das Unendlich+1 immernoch Unendlich ist?

Hatten wir, aber wer sagt denn, dass ...999 gleich unendlich ist?

BTW mit ...999 geht das sowieso nicht, die Basis (hier 10) muss eine Primzahl sein. Jedenfalls laut der Wikipedia-Seite dazu, ich kenn mich da nicht aus.

Eine positive Zahl plus eine positive Zahl wird in meinem Gedankenraum jedenfalls nicht 0. Hindert natürlich nicht einen Mathematiker daran, seine eigenen Räume zu definieren.

Jester

Tja, p-adische Zahlen sind sone ganz eigene Sache. Das hat mit den reellen Zahlen nichts zu tun.

Wenn man auch Q den normalen Betrag | | anschaut und dann vervollständigt, so daß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert besitzt, dann kommt R raus.

Betrachtet man nun mal nen anderen Betrag, erstmal auf Z, da ist der p-Betrag: wir zählen, wie oft p als Faktor in irgendeiner Zahl n drin steckt. Das nennen wir mal v_p(n). Als Betrag |n|_p definieren wir dann p^(-v_p(n)). Bei Bruchzahlen (a/b) sagen wir v_p(a/b) = v_p(a)-v_p(b) und definieren den Betrag entsprechend. |0| setzen wir auf 0.

Man kann sich nun klar machen, daß | |_p eine Norm auf Q ist. Nun kann man sich natürlich fragen, was passiert wenn wir Cauchy-Folgen bzgl dieser Norm anschaun. Vervollständigt man bezüglich dieser Norm, so kommt nicht mehr R raus, sondern eben die p-adischen Zahlen Q_p. Durch den völlig anderen Nachbarschaftsbegriff passieren da völlig andere Dinge.

Betrachten wir zum Beispiel mal die Folge a_n := p^n. Im Reellen ist die divergent, der (Absolut-)Betrag wächst über jede Schranke. Der p-adische Betrag:
|p^n|_p = p^(-v_p(pn)) = p^(-n). Das ist ganz klar ne Nullfolge, also muß die ursprüngliche Folge auch ne Nullfolge sein. Im p-adischen geht also die Folge p^n gegen 0.

Es gibt noch mehr Merkwürdigkeiten, zum Beispiel ist | |_p ultrametrisch, das heißt es gilt eine verschärfte Dreiecksungleichung: |a+b|_p <= max{|a|_p, |b|_p}. Als Konsequenz daraus findet man zum Beispiel, daß q-adische Kugeln recht lustig sind, sie sind zugleich offen und abgeschlossen und jeder Punkt der Kugel ist Mittelpunkt.
Außerdem sieht man so, daß eine Reihe über eine Folge genau dann konvergiert, wenn die Folge Nullfolge ist. Daraus sieht man dann zum Beispiel, daß die Reihe über die p_n n=0...unendlich konvergiert.

Tatsächlich lassen sich manche Probleme in Q_p leichter lösen. Einige Aussagen über Q lassen sich beweisen, indem man sie in allen Q_p zeigt. Durch den Betrag kann in Q_p sogar Analysis machen, also Ableitungen definieren etc.

W0lf

Jester schrieb:

Tja, p-adische Zahlen sind sone ganz eigene Sache. Das hat mit den reellen Zahlen nichts zu tun.

Wenn man auch Q den normalen Betrag | | anschaut und dann vervollständigt, so daß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert besitzt, dann kommt R raus.

Betrachtet man nun mal nen anderen Betrag, erstmal auf Z, da ist der p-Betrag: wir zählen, wie oft p als Faktor in irgendeiner Zahl n drin steckt. Das nennen wir mal v_p(n). Als Betrag |n|_p definieren wir dann p^(-v_p(n)). Bei Bruchzahlen (a/b) sagen wir v_p(a/b) = v_p(a)-v_p(b) und definieren den Betrag entsprechend. |0| setzen wir auf 0.

Man kann sich nun klar machen, daß | |_p eine Norm auf Q ist. Nun kann man sich natürlich fragen, was passiert wenn wir Cauchy-Folgen bzgl dieser Norm anschaun. Vervollständigt man bezüglich dieser Norm, so kommt nicht mehr R raus, sondern eben die p-adischen Zahlen Q_p. Durch den völlig anderen Nachbarschaftsbegriff passieren da völlig andere Dinge.

Betrachten wir zum Beispiel mal die Folge a_n := p^n. Im Reellen ist die divergent, der (Absolut-)Betrag wächst über jede Schranke. Der p-adische Betrag:
|p^n|_p = p^(-v_p(pn)) = p^(-n). Das ist ganz klar ne Nullfolge, also muß die ursprüngliche Folge auch ne Nullfolge sein. Im p-adischen geht also die Folge p^n gegen 0.

Es gibt noch mehr Merkwürdigkeiten, zum Beispiel ist | |_p ultrametrisch, das heißt es gilt eine verschärfte Dreiecksungleichung: |a+b|_p <= max{|a|_p, |b|_p}. Als Konsequenz daraus findet man zum Beispiel, daß q-adische Kugeln recht lustig sind, sie sind zugleich offen und abgeschlossen und jeder Punkt der Kugel ist Mittelpunkt.
Außerdem sieht man so, daß eine Reihe über eine Folge genau dann konvergiert, wenn die Folge Nullfolge ist. Daraus sieht man dann zum Beispiel, daß die Reihe über die p_n n=0...unendlich konvergiert.

Tatsächlich lassen sich manche Probleme in Q_p leichter lösen. Einige Aussagen über Q lassen sich beweisen, indem man sie in allen Q_p zeigt. Durch den Betrag kann in Q_p sogar Analysis machen, also Ableitungen definieren etc.

Also, nach diesem Beitrag muss ich mir erstmal nen Kaffee besorgen :p

queer_boy

Jester schrieb:

Als Konsequenz daraus findet man zum Beispiel, daß q-adische Kugeln recht lustig sind, sie sind zugleich offen und abgeschlossen und jeder Punkt der Kugel ist Mittelpunkt.

genau solche dinge machen für mich theoretische mathematik interesssant

Was ist eigentlich aus der Non-Standard-Analysis meines alten Profs geworden?
Da wurde eiskalt mit Unendlich gerechnet!

volkard

Jester schrieb:

Tja, p-adische Zahlen sind sone ganz eigene Sache. Das hat mit den reellen Zahlen nichts zu tun.

Wenn man auch Q den normalen Betrag | | anschaut und dann vervollständigt, so daß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert besitzt, dann kommt R raus.

Betrachtet man nun mal nen anderen Betrag, erstmal auf Z, da ist der p-Betrag: wir zählen, wie oft p als Faktor in irgendeiner Zahl n drin steckt. Das nennen wir mal v_p(n). Als Betrag |n|_p definieren wir dann p^(-v_p(n)). Bei Bruchzahlen (a/b) sagen wir v_p(a/b) = v_p(a)-v_p(b) und definieren den Betrag entsprechend. |0| setzen wir auf 0.

Man kann sich nun klar machen, daß | |_p eine Norm auf Q ist. Nun kann man sich natürlich fragen, was passiert wenn wir Cauchy-Folgen bzgl dieser Norm anschaun. Vervollständigt man bezüglich dieser Norm, so kommt nicht mehr R raus, sondern eben die p-adischen Zahlen Q_p. Durch den völlig anderen Nachbarschaftsbegriff passieren da völlig andere Dinge.

Betrachten wir zum Beispiel mal die Folge a_n := p^n. Im Reellen ist die divergent, der (Absolut-)Betrag wächst über jede Schranke. Der p-adische Betrag:
|p^n|_p = p^(-v_p(pn)) = p^(-n). Das ist ganz klar ne Nullfolge, also muß die ursprüngliche Folge auch ne Nullfolge sein. Im p-adischen geht also die Folge p^n gegen 0.

Es gibt noch mehr Merkwürdigkeiten, zum Beispiel ist | |_p ultrametrisch, das heißt es gilt eine verschärfte Dreiecksungleichung: |a+b|_p <= max{|a|_p, |b|_p}. Als Konsequenz daraus findet man zum Beispiel, daß q-adische Kugeln recht lustig sind, sie sind zugleich offen und abgeschlossen und jeder Punkt der Kugel ist Mittelpunkt.
Außerdem sieht man so, daß eine Reihe über eine Folge genau dann konvergiert, wenn die Folge Nullfolge ist. Daraus sieht man dann zum Beispiel, daß die Reihe über die p_n n=0...unendlich konvergiert.

Tatsächlich lassen sich manche Probleme in Q_p leichter lösen. Einige Aussagen über Q lassen sich beweisen, indem man sie in allen Q_p zeigt. Durch den Betrag kann in Q_p sogar Analysis machen, also Ableitungen definieren etc.

viel verständlicher als wikipedia. thx.