Pi
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Und für die, die auf Zahlen scharf sind:
> evalf(Pi,20); 3.1415926535897932385 > evalf(sqrt(sqrt((9^2) + ((19^2)/22))), 20); 3.1415926525826461252Felix
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.filmor schrieb:
Wenn ich eine beliebige Stelle von Pi haben will, dann bekomme ich sie in O(1). Tollere Laufzeit hat dein Speicher auch nicht.
Wie soll das gehen? Ist Dir die Summe entgangen, die für Stelle n auch n Iterationen benötigt? Man spart sich lediglich alle vorausgehenden Stellen um an Stelle n zu kommen.
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Tachyon schrieb:
.filmor schrieb:
Wenn ich eine beliebige Stelle von Pi haben will, dann bekomme ich sie in O(1). Tollere Laufzeit hat dein Speicher auch nicht.
Wie soll das gehen? Ist Dir die Summe entgangen, die für n Stellen n Iterationen benötigt? Man spart sich lediglich alle vorausgehenden Stellen um an Stelle n zu kommen.
Und wo genau ist nun der Widerspruch?
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Tim schrieb:
Und wo genau ist nun der Widerspruch?
Das O(n) nicht O(1) ist?
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Du verwirrst mich. Man bekommt _eine_ beliebige Stelle in O(1), n Stellen natürlich nur in O(n). Was ist nun dein Problem? Bzw. was war an filmors Aussage denn nun falsch?
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Tim schrieb:
Du verwirrst mich. Man bekommt _eine_ beliebige Stelle in O(1), n Stellen natürlich nur in O(n). Was ist nun dein Problem? Bzw. was war an filmors Aussage denn nun falsch?
Nein, man bekommt eine beliebige Stelle n in n Iterationen. Die Rechenzeit steigt also näherungsweise linear zur zu berechnenden Stelle.
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Jester schrieb:
Okay, dann will ich mal versuchen zu erklären, warum das keine gute Idee ist. Der Hauptgrund ist der, dass man sich eben nicht an eine bestimmte Darstellung binden möchte und jemand, der eine andere erhält, bekommt andere Ergebnisse.
Irgendwie habe ich das anders gelesen, als ich die obige Antwort schrieb. Nämlich, dass die Eigenschaften unabhängig sein sollten. Das sieht man auch an der Antwort...
Jester schrieb:
Nein, das stimmt nicht. Es ist nicht exakt im Dezimalsystem darstellbar und auch nicht in einem Stellenwertsystem mit einer beliebigen rationalen Basis. Sehr wohl aber bezüglich einer anderen Basis. Wie Christoph schon gezeigt hat ist es aber in Q[pi] sehr wohl darstellbar.
Das mag ja sein, aber was soll das bringen? Durch die Verschiebung der Basis bekommt man jede Menge andere Zahlen, die im System zur Basis Pi irrational werden. Man gewinnt dadurch irgendwie gar nichts.
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Tim schrieb:
Du verwirrst mich. Man bekommt _eine_ beliebige Stelle in O(1)
in der formel ist aber ein dickes summenzeichen drin.
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Tachyon schrieb:
Das mag ja sein, aber was soll das bringen? Durch die Verschiebung der Basis bekommt man jede Menge andere Zahlen, die im System zur Basis Pi irrational werden. Man gewinnt dadurch irgendwie gar nichts.
Ja und nein. Es werden andere Zahlen irrational, aber das muß ja nicht bedeuten, dass man nix gewinnt. Wenn die relevante Größe gerade Pi ist und man damit vernünftig arbeiten möchte, dann lohnt sich das schon. Letztlich wollte ich auch nur der Aussage widersprechen, dass es keine endliche Darstellung von Pi gäbe. Mit der Darstellung in Q[pi] hast du sogar keine Verluste... da stecken alle Zahlen drin, die Du bekommen kannst, indem Du pi in ein Polynom mit Koeffizienten in Q einsetzt. Das sind insbesondere alle rationalen Zahlen.
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Jester schrieb:
Ja und nein. Es werden andere Zahlen irrational, aber das muß ja nicht bedeuten, dass man nix gewinnt. Wenn die relevante Größe gerade Pi ist und man damit vernünftig arbeiten möchte, dann lohnt sich das schon. Letztlich wollte ich auch nur der Aussage widersprechen, dass es keine endliche Darstellung von Pi gäbe. Mit der Darstellung in Q[pi] hast du sogar keine Verluste... da stecken alle Zahlen drin, die Du bekommen kannst, indem Du pi in ein Polynom mit Koeffizienten in Q einsetzt. Das sind insbesondere alle rationalen Zahlen
Pi selbst mag ja greifbarer werden, aber Berechnungen die auf Pi beruhen (z.B. wenn Pi mit 1 definiert, wie muss dann der Durchmesser einen Kreises aussehen, um Pi als Umfang zu bekommen?) komplizierter. Man kann auch einfach ein Symbol für Pi definieren, dann symbolisch rumrechnen, und erst am Ende irgendeinen Wert in irgendeinem System für Pi einsetzen. Das spart auch Zeit und Nerven. Pi um seiner selbst willen bringt aber ja nicht sehr viel (außer, man will es berechnen, aber das muss man wiederum nicht, wenn man Pi als Basis nimmt).
PS: Wird das irgendwo gemacht? Ich würde dafür gerne mal etwas Greifbares sehen.
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Tachyon schrieb:
Man kann auch einfach ein Symbol für Pi definieren, dann symbolisch rumrechnen, und erst am Ende irgendeinen Wert in irgendeinem System für Pi einsetzen. Das spart auch Zeit und Nerven.
Genau darauf läuft es letztlich hinaus, ja.
Aber du verrennst dich gerade in eine Diskussion, die hier eigentlich garnicht stattfindet: Die Aussage war "Pi lässt sich nicht endlich darstellen", und ich denke inzwischen ist der Konsens: obige Aussage ist falsch. Mehr wollte ich garnicht sagen.
Das ist auch erstmal völlig unabhängig von einer praktischen Nutzbarkeit. Aussagen werden weder richtig noch falsch, wenn sie praktisch nutzbar oder nicht nutzbar sind oder greifbar oder sonst was ist.