[Mathe] Hilfe gesucht (Extremwertaufgabe ?)
-
Die Anzahl der Fahrzeuge, die pro Stunde eine Zählstelle passieren heißt Schluckvermögen D. Wenn man das Schluckvermögen (=Verkehrsdichte=Fahrzeugdurchsatz) D einer Straße berechnen will, gibt es die Formel D(v)=1000v/(L+a(v)). L entspricht der Länge eines Autos, und a dem Sicherheitsabstand zwischen jedem Auto(a ist auch abhängig von der Geschwindigkeit,deshalb a(v)).
Es gibt verschiedene Abstandsregeln, z.B. a(v)= (v/3.6)*t_r + 0.5*b*(v²/3.6²).
t_r entspricht hier der Reaktionszeit in Sekunden, und b der Bremsverzögerung in m/s².
Nun kann man sagen, dass für die Geschwindigkeit v_max bei der D(v) am größten ist folgendes gilt: v_max = 3.6 * sqrt(2*L*b) (für oben genannte Abstandsregel). Nur wie kommt man auf diese Formel ?! Ich denke das ist eine Extremwertaufgabe oder ? Wenn ja kann mir jmd einen Link geben oder gleich erklären wie man Extremwertaufgaben löst ?
Bin sehr dankbar für Hilfe..[ Dieser Beitrag wurde am 16.06.2003 um 17:29 Uhr von nep editiert. ]
-
Ja, das ist eine Extremwertaufgabe.
Wenn dir "Ableitung" und "Kurvendiskussion" aber nichts sagt, muss man sehr weit ausholen um das zu erklären.
Nur mal soviel: Letztlich läuft es darauf hinaus, die Veränderung des Funktionswertes in Abhängigkeit der Variablen zu untersuchen (hier also D(v)).
Dort wo der Funktionswert von einem Ansteigen wieder zu einem Absteigen übergeht ist ein Maximum.
-
Also wie ne Kurvendiskussion geht oder wie man ableitet weiß ich schon noch, aber das mit den Extremwertaufgaben ist schon relativ lange her und ich weiß echt nimmer wie das geht. Ich meine ok wenn ein Maximum gesucht ist, dann muss man natürlich den Hochpunkt ausrechnen usw. , aber man muss ja bevor man überhaupt was ableitet erst noch die richtige Funktion aufstellen, und ich weiß echt nimmer wie das ging. Weiß nicht jemand nen Link wo das nochmal schön erklärt wird, oder vielleicht kanns mir ja auch hier wer kurz erklären..
-
D(v) ist die 'zu maximierende Funktion', abgelitten wird nach v. Wo ist das Problem? [Gutgut, so beim Hinschmieren bekomme ich jetzt 'v = +- 3.6 * sqrt(2 * L / b)', aber da kann ich mich freilich täuschen.]
-
Die abzuleitende Funktion ist D(v) = 1000v / (L + ((v/3.6)*t_r + 0.5*b*(v²/3.6²))) ? Also wenn ich das ableite kommt da irgendwas "dubioses" (auf deutsch falsches
) raus. Das geht doch mithilfe der Quotientenregel oder ? Na ja kann auch gut sein dass ich mich irgendwo ziemlich verrechnet hab.. ich rechne es nachher noch ein paar mal.
Danke schon mal !
-
Hum also ich bekomm da wie gesagt ganz dubiose ergebnisse... Ist das überhaupt die richtige Funktion nach der abgelitten werden muss ?
-
Sind die dubiosen Ergebnisse top secret, oder könntest Du sie uns evtl mal zeigen? An besten mit ein paar Kommentaren, was Du dir wobei gedacht hast.
-
Na gut du hast es so gewollt
Also: D(v)=1000v/((v/3.6)*t_r+(1/2)b*(v²/3.6²)) .Als erstes mal vereinfachen(wegen den Doppelbrüchen):
D(v)=1000v * 3.6 * 2b * 3.6² / (L+ vt_r + v²)
D(v)=1000v*3.6³*2b / (L+vt_r+v²).Jetzt ableiten(Quotientenregel):
D'(v)=(1000*3.6³*2b)(L+v*t_r+v²) - ((1000v*3.6³*2b)*(t_r+2v)) / (L+vt_r+v²)²
Ist nu eh schon falsch, aber ok
= 93312b*L+93312b*t_r*v+93312b*v²-93312b*v*t_r-93312b*2v² / (L+t_r*v+v²)²Da hab ich dann noch bissl mit ausklammern rumprobiert,aber das ist auf jeden Fall grottenfalsch...
Wie gesagt: Für die Geschwindigkeit v_max bei der D(v) am größten ist gilt v_max = 3.6*sqrt(2*L*b). Und das stimmt auf jeden Fall. Nur weiß ich halt nicht wie man da drauf kommt..
[ Dieser Beitrag wurde am 17.06.2003 um 22:25 Uhr von nep editiert. ]
-
Original erstellt von nep:
Na gut du hast es so gewollt
Also: D(v)=1000v/((v/3.6)*t_r+(1/2)b*(v²/3.6²)) .L vergessen.
Als erstes mal vereinfachen(wegen den Doppelbrüchen):
D(v)=1000v * 3.6 * 2b * 3.6² / (L+ v*t_r + v²)Ne, die Funktion mancht was ganz anderes. Leite einfach so das Ding von oben ab. Wenn wir die Definitionslücken ignorieren, reicht es, nur den Zähler der Ableitung zu bestimmen (denn Du willst anschließend die Nullstellen der Ableitung, die Extremwerte der Ausgangsfunktion, bestimmen).
-
Das war ein Tippfehler, ist ja dann beim Vereinfachen wieder richtig (also mit dem L). Ich hab jetzt D(v)=1000v / ( L + (v/3.6)*t_r + (1/2b)*(v²/3.6²)) nach der Quotientenregel abgeleitet. für v/3.6 hab ich (10/36)*v geschrieben, da es dann leichter ableitbar ist. Kommt aber wieder was komisches raus(Ich schreib jetzt mal nur den Zähler hin, da sich beim Nenner eh nix ändert ausser eben dass er hoch 2 genommen wird..):
Also D(v)=1000v / ( L + (v/3.6)*t_r + (1/2b)*(v²/3.6²))
Quotientenregel:
D'(v)=1000*( L + (10/36)*v*t_r + (1/2b)((10/36)²*v²) ) - ( 1000v *((10/36)t_r + (1/2b)(25/324)*2v)) )"vereinfachen":
D'(v)=1000*( L + (10/36)*v*t_r + (25/648b)*v² ) - ( 1000v*( (10/36)t_r + (25/324b)*v ) )ausmultiplizieren:
D'(v)=1000L + (2500/9)v*t_r + (3125/81b)*v² - (2500/9)v*t_r - (3125/81b)*v²Da fällt jetzt einiges weg, dann hab ich noch folgendes stehen (gesamter Bruch jetzt):
1000 * L / ( L + (10/36)v*t_r + (25/648b)v² )²Das ist doch auch wieder grottenfalsch
Ist der Weg den ich gehe Wenigstens richtig ? Ich glaube nicht..
-
Original erstellt von nep:
*"vereinfachen":
D'(v)=1000( L + (10/36)*v*t_r + (25/648b)*v² ) - ( 1000v*( (10/36)t_r + (25/324b)*v ) )ausmultiplizieren:
D'(v)=1000L + (2500/9)v*t_r + (3125/81b)*v² - (2500/9)v*t_r - (3125/81b)*v²**1000 * 25/648 == 1000 * 25/324 == 3125/81
?
-
Hoppla, hast recht. Dann kommt aber halt 1000L-(3125/81b) / ( L + (10/36)v*t_r + (25/648b)v² )² raus.. und das ist ja genauso falsch oder ?
..
