Frage zu Mathe: Äquivalenzrelation, Transitivität

ich hab ne Äqui.rel. ~: (a,b)~(c,d) <=> ad = cb
also ich soll zeigen, dass das überhaupt eine ist. Reflexivität und Symmetrie sind ja leicht zu zeigen, aber gilt das:
ad = cb, cf = de => af = be
?

Danke!

volkard

Original erstellt von <weter>:
ich hab ne Äqui.rel. ~: (a,b)~(c,d) <=> ad = cb
also ich soll zeigen, dass das überhaupt eine ist. Reflexivität und Symmetrie sind ja leicht zu zeigen, aber gilt das:
ad = cb, cf = de => af = be
?
Danke!

(a,b)~(c,d) <=> ad = cb
heisst
(a,b)~(c,d) <=> a/b = c/d

gehts damit einfacher?

ja, das hab ich auch zuerst gedacht, aber das ist irgendwie zu trivial. Darf ich das überhaupt? Steckt das nicht irgendwie in der Behauptung drin? Sonst hätte vielleicht ja gleich a/b = c/d und nicht ad = cb dagestanden.

volkard

obiger vorschlag von mir verlangt nen operator/.
der hier verlangt weniger, nämlich nur, daß
(1) a*b==b*a
und
(2) die existenz eines inversen

ad = cb, cf = de => af = be

ad = cb
adf = cbf
(1)
adf = bcf
afd = bed
(2)
af = be

ok, vielen Danke!!

volkard

Original erstellt von <weter>:
ja, das hab ich auch zuerst gedacht, aber das ist irgendwie zu trivial. Darf ich das überhaupt?

nee.

Steckt das nicht irgendwie in der Behauptung drin? Sonst hätte vielleicht ja gleich a/b = c/d und nicht ad = cb dagestanden.

profs schreiben gerne aufgaben, wo man am anfang nen trick braucht.
aber was erlaubt ist mit den vraiablen weiß ich net. steht da nix dazu?
ohne weitere gesetze zur umformung seh ich nix, wie mans machen kann.

Original erstellt von volkard:
steht da nix dazu?
ohne weitere gesetze zur umformung seh ich nix, wie mans machen kann.

naja, da stand, dass "~" eben dem "=" bei Brüchen entspricht, deshalb hab ich gedacht, dass ich das dann nicht in nen Bruch umschreibn darf.

volkard

evtl darf man nicht als / schreiben, weils probleme bei division durch 0 gibt. man sollte also vielleicht da fälle unterscheiden, um wirklich gar keinen fehler zu machen.

Original erstellt von <weter>:
ich hab ne Äqui.rel. ~: (a,b)~(c,d) <=> ad = cb
also ich soll zeigen, dass das überhaupt eine ist. Reflexivität und Symmetrie sind ja leicht zu zeigen, aber gilt das:
ad = cb, cf = de => af = be
?
Danke!

also wenn ich (a,b) und (c,d) hab darf ich dann überhaupt ab und cd schreiben, ich meine das komma darf man doch nich als Malpunkt verstehen!
außerdem hat man ja nur EINE gleichung aber VIER variablen.
diese können garnicht berechnet werden, das geht nicht.
Also ist bewiesen, daß das nicht lösbar ist!

es sind ja sogar 6 variablen.
Na dann gehts erst recht nicht!
Die die die aufgabe gestellt haben haben wohl Mist gebaut!!

volkard

Original erstellt von <Spieleprogrammierer>:
es sind ja sogar 6 variablen.
Na dann gehts erst recht nicht!
Die die die aufgabe gestellt haben haben wohl Mist gebaut!!

manchmal sind sogar aufgaben mit dutzenden von variablen lösbar.

beispiel:
berechne
(x-a)(x-b)(x-c)...(x-z)

Jester

Was ist denn genau die Aufgabe, okay Äquivalenzrelation, aber woher kommen die Tupel? Aus Z oder aus ner Gruppe? Dann isses leicht, bei ner Halbgruppe bräuchten wir evtl. noch die ein oder andere Zusatzinfo. Sowas wie eindeutiges Einselement oder so.

Sag doch mal was.
MfG Jester

aus Z, aber die Frage ist geklärt. Es ist keine richtige Aufgabe, aber im Skript steht "wie man leicht nachprüfen kann ist <mein Text von oben> eine Äquivalenzrelation".;)

Jester

@volkard:
Ich glaub man kann das sogar ohne die Existenz von Inversen zeigen. Genau diese Konstruktion führt man nämlich aus, wenn man aus Z Q gewinnen will. Aber in Z sind die Elemente allgemein nicht invertierbar. Es genügt also sogar eine Kürzungsregel zu besitzen und keine Inversen. Ein Einselement muß es natürlich geben. Also kann das schon mit ner Halbgruppe machen, die die Kürzungsregel erfüllt.

MfG Jester

volkard

Original erstellt von Jester:
@volkard:
Ich glaub man kann das sogar ohne die Existenz von Inversen zeigen. Genau diese Konstruktion führt man nämlich aus, wenn man aus Z Q gewinnen will. Aber in Z sind die Elemente allgemein nicht invertierbar. Es genügt also sogar eine Kürzungsregel zu besitzen und keine Inversen. Ein Einselement muß es natürlich geben. Also kann das schon mit ner Halbgruppe machen, die die Kürzungsregel erfüllt.
MfG Jester

kürzungsregel?
also wie ich aus
afd = bed
dann
af = be
gemacht hab.

ist die forderung einer kürzungsregel nicht identisch zur forderung eines inversen?

hab ja eigentlich
afd = bed
afd*inv(d) = bed*inv(d)
af*1 = be*1
af = be

gemacht.

Jester

nein: in Z:

5*a = 5*b => a=b, aber 5^-1 = 1/5 !€ Z

Kürzungsregel ist also schwächer. Der obige Beweis wäre so für Z nämlich nicht zulässig.

MfG Jester

volkard

Original erstellt von Jester:
nein: in Z:
5*a = 5*b => a=b, aber 5^-1 = 1/5 !€ Z
Kürzungsregel ist also schwächer. Der obige Beweis wäre so für Z nämlich nicht zulässig.
MfG Jester

ok. wieder was gelernt.

und wie müsste er dann richtig lauten?

Jester

Einfacg statt der Inversen-Multiplikation die Kürzungsregel benutzen. Der Beweis bleibt ansonsten der selbe.

In Ringen kann man übrigens genau dann kürzen, wenn sie Nullteilerfrei sind:

Sei a!=0:
         klar            klar       nullteilerfrei  klar
a*b = a*c <=> a*b-a*c = 0 <=> a*(b-c) = 0 <=> b-c=0 <=> b=c

nullteilerfrei heißt:

a*b=0 => a=0 oder b=0.