Mathematik Polynome

Hallo

wie überprüft man , ob x⁴⁺³

irreduzibel ist?

Ich glaube das geht mit dem eisensteinischen Kriterium.
Trotzdem schaffe ich es ohne Beispiel nicht!

mit Mathematica faktorisieren und gucken

Jester

p(x) = x^4+3x3+x^2-2x+1

Nehmen wir an, es gäbe eine Bruchzahl u/v mit u€Z, v€N mit p(u/v) = 0, u,v teilerfremd, die 0 schließen wir einfach mal aus.

=>
(u/v)^4 + 3*(u/v)^3 + (u/v)^2 - 2(u/v) + 1 = 0 |*v^4
<=>
u^4 + 3*u^3v + u^2v2 - 2*uv^3 + v^4 = 0 jetzt nehmen wir mal an: u>1 => ex. Primzahl p: p|u (p teilt u)
also:
v^4 = 0 (mod p) => p|v^4 => (p prim) p|v Widerspruch, <0 analog ausschließen oder oben gleich mit Betrag argumentieren oder so. Das gleiche nochmal für v.
Damit bleiben nur noch +1 und -1 als Möglichkeiten. Nachrechnen => Widerspruch.

Für zwei Faktoren:

(Gauß-Lemma):

p = (x^2+aX+b)(x2+cX+d) = ... ausmultiplizieren, Koeffizientenvergleich => Widerspruch (a,b,c,d € Z, das heißt wegen bd=1 => b=d=1 oder b=d=-1
usw.)