Mathe (minimalpolynom)
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Hallo, ich soll das Minimalpolynom quadratwurzel(2)+quadratwurzel(3) über folgenden Körpern bestimmen :
Q, Q(quadratwurzel(2))
Wie geht sowas?
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über Q geht's so:
(sqrt(2)+sqrt(3))^2 = 2+3+2*sqrt(6) = 5+2*sqrt(6)
also nehmen wir
(((sqrt(2)+sqrt(3))2-5)2 = 24
also:
(x2-5)2 -24 = 0
noch umformen, normiert isses schon => es annuliert. Hat Grad 4. Jetzt zeigste noch, daß der Körpergrad [Q(sqrt(2)+sqrt(3)):Q] = 4 ist. Damit folgt, daß es das Minpol ist.Im zweiten Fall ist der Grad der Erweiterung 2 (ggf. nachrechnen).
Also gibt es ein Minpol vom Grad 2.(sqrt(2)+sqrt(3))^2 = 5+sqrt(6)
5+sqrt(6)-5 = sqrt(6)
sqrt(6)*sqrt(2) = 2*sqrt(3), jetzt addieren wir noch 2*sqrt(2) dazu und ziehen 2mal sqrt(2)+sqrt(3) ab.((sqrt(2)+sqrt(3))^2 - 5)*sqrt(2)+2*sqrt(2) - 2*(sqrt(3)+sqrt(2)) = 0, wenn ich mich nicht irre.
Daher:
(x^2-5)*sqrt(2) - 2*x + 2*sqrt(2) noch normieren und fertig.
MfG Jester
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Danke!
Kannst du mir noch mal erklären wie man generell vorgeht und was man machen muss?
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Ein wirkliches System kann ich Dir leider auch nicht bieten.
Meistens berechne ich zuerst mal den Grad der Körpererweiterung, dann weiß ich nämlich welchen Grad das Minimalpolynom hat.
Anschließend suche ich mir eben ein Polynom von diesem Grad, das anulliert.
Also zunächst mal den Wert quadrieren, anschließend ziehste mal alles ab, daß Du wieder nur ne Wurzel hast, den ganzen Term nochmal quadrieren und Du hast ein Polynom vom Grad 4 gefunden. Wenn Du über andere Körper, wie zum Beispiel hier Q(sqrt(2)) arbeitest mußt Du halt genau hinschauen, ob sich da irgendwie was geschickt ergänzen läßt, so daß Dein Element (hier: sqrt(2)+sqrt(3)) nochmal auftaucht.
Sozusagen durch "scharfes hinsehen".MfG Jester
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1000 Dank!
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1000 Dank!
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1000 Dank!
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Noch eine Frage. Was heist anulliert?
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Wenn ich ein Element a habe und ein Polynom p, dann sage ich:
p anulliert a, falls p(a) = 0
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Jetzt soll ich das selbe über Q[sqrt(6)] und Q[sqrt(2)] löen!
Für Q[sqrt(6)] hab ich es geschafft, aber für Q[sqrt(2)] hab ich keine Idee.
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Q[sqrt(2)] ist isomorph zu Q(sqrt(2)).
Allgemeiner: Q[a] isomorph zu Q(a) <=> a algebraisch über Q.
Damit ist die Aufgabe sozusagen schon erledigt.MfG Jester
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Was muss ich nun als Minimalpolynom hinschreiben?
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das gleiche wie bei Q(sqrt(2))
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ich weiß ja was Q ist, aber was ist Q(sqrt(2)) und Q[sqrt(2)]?
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ich würde sqrt(x) als die Quadratwurzel von x interpretieren
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in Q(sqrt(2)) sind alle Elemente der Form a+b*sqrt(2) mit a,b€Q
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ist Q(sqrt(2)) = Q[sqrt(2)]?
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naja, das = ist mit Vorsicht zu genießen, aber ein isomorph kannste bequem dazwischen schreiben.
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und was ist der unterschied? (zw q() und q[])
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Allgemein:
bei Q[sqrt(2)] "setzen" wir für X sqrt(2) ein. Damit können wir aber alles ein bißchen zusammenschieben und brauchen nur noch X^0 und X^1 (warum?)
Q(X) ist Menge aller f(X)/g(X) mit f,g Polynome mit Koeffizienten in Q.
Q(sqrt(2)) ist dann das gleiche nur mit sqrt(2) für X "eingesetzt".in diesem Fall macht das allerdings keinen großen Unterschied.
MfG Jester