Zyklenzerlegung

Ich muss eine Aufgabe lösen:

Betrachten Sie die Gruppe der Permutation

g=(3,6,5,4)(5,6)(3,4)

Jetzt soll ich die Zyklenzerlegung bestimmen.

Mich verwirrt, dass das schon wie eine Zyklenzerlegung aussieht, aber es kommen ja Elemente doppelt vor!

Wie ist das also zu machen?

Jester

Ich vermute, Du willst die Permutation in disjunkte Zykel zerlegen.

Erstmal schreibste Dir auf, was die Permutation womit tut:
g=(3,6,5,4)(5,6)(3,4)

( 3 4 5 6 )
( 3 6 5 4 )

und jetzt kannste Zyklen suchen: einfach verfolgen:

Jetzt wählste eine Zahl und schreibst die als erste Zahl in ein Zykel. Dann schauste wo die hin abgebildet wird und schreibst die daneben. Immer so weiter, bis Du wieder bei der ersten Zahl rauskommst (warum geht das immer? Beweis!). Dann machste die Zykel-Klammer zu. Dann machste mit der nächsten noch nicht verwendeten Zahl weiter. Bis alle aufgebraucht sind. Zuguterletzt machste noch die Zahlen, die einzeln in ihren Zykelklammern stehen wieder weg. Fertig!

In diesem einfach Fall ergibt das: (4,6)

MfG Jester

Mein problem ist, das dies in der Gruppe S6 geschehen soll.

(3,6,5,4)(5,6)(3,4)

was ich nicht verstehe ist, warum da 8 Werte sind wenn wir in S6 sind!

Und warum

( 3 4 5 6 ) //Sind das die Werte aus der 2. und 3 Klammer ?
( 3 6 5 4 ) //hier die erste Klammer hingeschrieben - klar

Jester

Also die S6 sagt ja aus, dass Du sechs Werte permutierst. Diese wirst Du normalerweise als 1..6 bezeichnen.

Die Zykelschreibweise funktioniert so:

(a,b,c) sagt: a wird nach b abgebildet, b nach c und c wiederum nach a.

Solche Zykeln kann man dann multiplizieren indem man sie hintereinander schaltet. Vorsicht: von rechts nach links abarbeiten.

Zum Beispiel:
(123)(23): 3-->2-->3
2-->3-->1
1-->2

Die Liste enhielt nicht das erste Zykel. Ich habe eine andere Darstellung der Permutation gewaehlt. Obere Reihe stehen alle Werte drin 1...6 und jeweils unter einer Zahl steht, wohin diese abgebildet wird. Das habe ich wie oben beschrieben aus den Zykeln abgelesen. Da aber 1,2 nicht vorkamen hab ich die gleich weggelassen um mir Schreibarbeit zu ersparen.

Hoffe das hilft Dir weiter
MfG Jester

Das mit der zyklenzerlegung verstehe ich z.B.

123456789
564789312

Zyklenzerlegung ist:(1,5,8) (2,6,9) (3,4,7)

Gegeben ist aber g=(3,6,5,4)(5,6)(3,4) Element S6
Also dies ist noch keine Zyklenzerlegung!

Ich versteh nicht wie ich von g=(3,6,5,4)(5,6)(3,4)nach

123456
??????

komme!

Jester

Achso.
Eigentlich hab ich das schon beschrieben.

Du wählst eine Zahl und gehst von rechts nach links durch die Permutation und schaust wo sie hin abgebildet wird.

1 geht nach... kommt überhaupt nicht vor, also wird sie auch auf ein abgebildet.
3 geht auf 4 in der ersten Klammer, jetzt schauste in der zweiten, da geht 4 auf 4, weil's nicht drin steht. Dann noch die letzte Klammer, da geht 4 auf 3. Also wird 3 auf 3 abgebildet von der gesamten Permutation. Das spielste jetzt einfach für alle Elemente durch.

MfG Jester

Danke, jetzt is alles klar!

Hi, das ist ne gute Erklärung, Super !!