Hat die Zeit nun angefangen oder nicht?
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Laut Wikipedia ist es eine "pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit".
Mein Physikprofessor meint immer zu diesen Themen: "Liess doch erstmal Riemann, aber das kann man normalen Menschen nicht sagen, weil sie dann sehr traurig werden".
Im Vergleich zum 2D-Anblick der Erde müßten wir uns eine vierdimensionale "Kugel" (x,y,z,t) denken. Ich persönlich halte von dem Modell übrigens nichts, da t keine Dimension im räumlichen Sinn ist. Um es mal mit Programmiererworten auszudrücken: t ist von einem anderen "Typ".
Weil du eben kein Physiker bist ... "Liess doch erstmal Riemann" ...
Auch lehrt uns die Relativitaetstheorie, dass Raum und Zeit zusammengehoeren. Man spricht von Raumzeit(kontinuum).Weiß aber nicht genau, was das "pseudo" bedeutet.
Der Minkowski-Abstand ist eine Pseudometrik.
Eine Kugel hat aber einen Rand. Wir müssen uns eine vierdimensionale Kugeloberfläche denken ("4-Sphäre"), die Oberfläche einer 5-dimensionalen Kugel quasi.
Ich dachte immer, wir leben auf dem Rand einer 4 dimensionalen Kugel (also 3-dimensionaler Raum), die sich kontinuierlich mit uns durch die Zeit bewegt. Wo soll denn auf einmal die 5te Dimension herkommen.
Ist es aber auch nicht, der Abstand kann sogar imaginär werden.
Der Minkowski-Abstand von 2 Ereignissen kann imaginaer werden?
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knivil schrieb:
Mein Physikprofessor meint immer zu diesen Themen: "Liess doch erstmal Riemann, aber das kann man normalen Menschen nicht sagen, weil sie dann sehr traurig werden".
Kann man sich ja nicht antun dieses Gesülze über mehrfach ausgedehnte Größen. Bitte etwas der heutigen Sprache angepasst, dann geht das auch für Nichthistoriker
Weiß aber nicht genau, was das "pseudo" bedeutet.
Der Minkowski-Abstand ist eine Pseudometrik.
Und das ist was? Das, was Wikipedia Pseudometrik nennt kann es nicht sein.
Eine Kugel hat aber einen Rand. Wir müssen uns eine vierdimensionale Kugeloberfläche denken ("4-Sphäre"), die Oberfläche einer 5-dimensionalen Kugel quasi.
Ich dachte immer, wir leben auf dem Rand einer 4 dimensionalen Kugel (also 3-dimensionaler Raum), die sich kontinuierlich mit uns durch die Zeit bewegt. Wo soll denn auf einmal die 5te Dimension herkommen.
Ich rede von der Raumzeit, nicht vom Raum, und die ist 4-dimensional. Welche Gestalt sie hat weiß ich nicht, das mit der Kugel ist nur ein Versuch, sich irgendwie in den Begriff reinzudenken.
Ist es aber auch nicht, der Abstand kann sogar imaginär werden.
Der Minkowski-Abstand von 2 Ereignissen kann imaginaer werden?
Wenn das Abstandsquadrat negativ wird. Dass man immer mit dem Quadrat arbeitet wusste ich nicht, das wird natürlich nicht imaginär. Vielleicht sollte man mit demjenigen mal ein paar Takte reden, der sich hierfür den Begriff Metrik hat einfallen lassen.
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Das war wahrscheinlich Ricci oder so... oft sagt man auch "metrischer Tensor" statt Metrik, was möglicherweise weniger irreführend ist.
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Bashar schrieb:
Weiß aber nicht genau, was das "pseudo" bedeutet.
Der Minkowski-Abstand ist eine Pseudometrik.
Und das ist was? Das, was Wikipedia Pseudometrik nennt kann es nicht sein.
Doch, genau das ist gemeint. Eine Metrik, in der der Abstand zweier Punkte Null sein kann, obwohl sie nicht gleich sind. Das ist es dann, was der Relativitätstheoretiker einen 'lichtartigen' Abstand nennt. Das ist eine wichtige Eigenschaft der Raumzeit, dass es sowas gibt.
Eine Kugel hat aber einen Rand. Wir müssen uns eine vierdimensionale Kugeloberfläche denken ("4-Sphäre"), die Oberfläche einer 5-dimensionalen Kugel quasi.
Ich dachte immer, wir leben auf dem Rand einer 4 dimensionalen Kugel (also 3-dimensionaler Raum), die sich kontinuierlich mit uns durch die Zeit bewegt. Wo soll denn auf einmal die 5te Dimension herkommen.
Ich rede von der Raumzeit, nicht vom Raum, und die ist 4-dimensional. Welche Gestalt sie hat weiß ich nicht, das mit der Kugel ist nur ein Versuch, sich irgendwie in den Begriff reinzudenken.
Ich verstehe, dass du gedanklich versuchst, das irgendwo einzubetten. Es ist aber ziemlich wichtig bei der Riemann-Geometrie, dass eine Manigfaltigkeit eben nicht unbedingt in eine höhere Dimension eingebettet zu sein braucht. Welche Gestalt die aktuellen Theorien der Raumzeit geben, überlasse ich mal einem Kosmologen (das ändert sich alle paar Jahre
). Aber man denkt sie sich normalerweise nirgendwo eingebettet.Ist es aber auch nicht, der Abstand kann sogar imaginär werden.
Der Minkowski-Abstand von 2 Ereignissen kann imaginaer werden?
Wenn das Abstandsquadrat negativ wird. Dass man immer mit dem Quadrat arbeitet wusste ich nicht, das wird natürlich nicht imaginär. Vielleicht sollte man mit demjenigen mal ein paar Takte reden, der sich hierfür den Begriff Metrik hat einfallen lassen.
Ist ja auch nur eine Pseudo-Metrik. Die muss nicht ganz so strenge Axiome erfüllen.
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Allerdings entspricht das Teil, obwohl es Metrik heißt eher einem Skalarprodukt -- wenn auch keinem richtigen.
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SeppJ schrieb:
Doch, genau das ist gemeint. Eine Metrik, in der der Abstand zweier Punkte Null sein kann, obwohl sie nicht gleich sind. Das ist es dann, was der Relativitätstheoretiker einen 'lichtartigen' Abstand nennt. Das ist eine wichtige Eigenschaft der Raumzeit, dass es sowas gibt.
*seufz*
Ich beziehe mich auf den Artikel de.wikipedia.org/wiki/Raumzeit und die Aussagen von Mr. Fister hier. Danach ist die Minkowski-Metrik zweier Punkte ("das Abstandsquadrat") negativ ("raumartig"), null ("lichtartig") oder positiv ("zeitartig"). Oder anders rum, das ist Konvention.
Das bedeutet, es gilt gerade mal Symmetrie, aber keine Dreiecksungleichung und auch keine Homogenität.
Das heißt, es ist keine Pseudometrik!
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Mr.Fister schrieb:
Gregor schrieb:
TravisG schrieb:
Wart, bis Gregor vorbeiguggt, vielleicht kann er mehr dazu sagen.
Sorry, aber ich habe wirklich keinerlei Ahnung von Zeit.
Vielleicht guckt hier ja auch noch ein Hobby-Kosmologe rein. Der könnte da bestimmt mehr zu sagen. 
Ich würde mich eigentlich sogar als Profi-Kosmologe bezeichnen..
Och, echt? Cool. Inwiefern denn? Was hast Du da für Interessen?
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Bashar schrieb:
SeppJ schrieb:
Doch, genau das ist gemeint. Eine Metrik, in der der Abstand zweier Punkte Null sein kann, obwohl sie nicht gleich sind. Das ist es dann, was der Relativitätstheoretiker einen 'lichtartigen' Abstand nennt. Das ist eine wichtige Eigenschaft der Raumzeit, dass es sowas gibt.
*seufz*
Ich beziehe mich auf den Artikel de.wikipedia.org/wiki/Raumzeit und die Aussagen von Mr. Fister hier. Danach ist die Minkowski-Metrik zweier Punkte ("das Abstandsquadrat") negativ ("raumartig"), null ("lichtartig") oder positiv ("zeitartig"). Oder anders rum, das ist Konvention.
Das bedeutet, es gilt gerade mal Symmetrie, aber keine Dreiecksungleichung und auch keine Homogenität.
Das heißt, es ist keine Pseudometrik!Pfft, deutschsprachige Wikipedia
In der Minkowski-Metrik gilt die Dreiecksungleichung, aber genau andersrum als man das von "normalen" Metriken kennt:
||a||+||b|| <= ||a+b||
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Gregor schrieb:
Mr.Fister schrieb:
Gregor schrieb:
TravisG schrieb:
Wart, bis Gregor vorbeiguggt, vielleicht kann er mehr dazu sagen.
Sorry, aber ich habe wirklich keinerlei Ahnung von Zeit.
Vielleicht guckt hier ja auch noch ein Hobby-Kosmologe rein. Der könnte da bestimmt mehr zu sagen. Ich würde mich eigentlich sogar als Profi-Kosmologe bezeichnen..
Och, echt? Cool. Inwiefern denn? Was hast Du da für Interessen?
Ich habe vor im nächsten Semester meine Diplomarbeit im Bereich der Kosmologie zu schreiben. Interessiere mich unter anderem für Allgemeine Relativitätstheorie, Gravitation und frühes Universum.
Bashar schrieb:
SeppJ schrieb:
Doch, genau das ist gemeint. Eine Metrik, in der der Abstand zweier Punkte Null sein kann, obwohl sie nicht gleich sind. Das ist es dann, was der Relativitätstheoretiker einen 'lichtartigen' Abstand nennt. Das ist eine wichtige Eigenschaft der Raumzeit, dass es sowas gibt.
*seufz*
Ich beziehe mich auf den Artikel de.wikipedia.org/wiki/Raumzeit und die Aussagen von Mr. Fister hier. Danach ist die Minkowski-Metrik zweier Punkte ("das Abstandsquadrat") negativ ("raumartig"), null ("lichtartig") oder positiv ("zeitartig"). Oder anders rum, das ist Konvention.
Das bedeutet, es gilt gerade mal Symmetrie, aber keine Dreiecksungleichung und auch keine Homogenität.
Das heißt, es ist keine Pseudometrik!Ja, symmetrisch und nicht-ausgeartet muss sie sein. "Pseudometrik" sagt aber eigentlich auch keiner. Wenn die Metrik nicht positiv definit ist, sagen die Differentialgeometer Lorentzmetrik dazu. Die Minkowskimetrik bspw. ist eine Lorentzmetrik.
Das Wort "pseudo" kommt eigentlich nur bei der Bezeichnung der Mannigfaltigkeit vor. Eine mit einem positiv definiten metrischen Tensor ausgestattete Mnfkt. heißt Riemansch, und pseudo-Riemannsch wenn man die positivdefinitheit aufgibt.
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SeppJ:
Was willst du damit aussagen, was ändert das? Sie ist auch nicht positiv semidefinit und nicht homogen. Und welchen Wikipedia-Artikel meinst du, den zur Raumzeit oder den zur Pseudometrik?BTW, deine Dreiecksungleichung kommt mir auch spanisch vor: Nimm ein a mit ||a||>0, dann ist ||-a|| > 0 (wegen der Symmetrie, oder gilt die etwa auch nicht?) und ||-a|| + ||a|| = ||-a+a|| = ||0|| = 0, Widerspruch.
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Mr.Fister schrieb:
Bashar schrieb:
Das heißt, es ist keine Pseudometrik!
Ja, symmetrisch und nicht-ausgeartet muss sie sein. "Pseudometrik" sagt aber eigentlich auch keiner.
Sag ich doch die ganze Zeit
knivil schrieb:
Der Minkowski-Abstand ist eine Pseudometrik.
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Mr.Fister schrieb:
Das war wahrscheinlich Ricci oder so... oft sagt man auch "metrischer Tensor" statt Metrik, was möglicherweise weniger irreführend ist.
Im Grunde bezeichnen die Physiker ja sowieso alles irgendwie anders als die Mathematiker. Ich finde "metrischer Tensor" noch verwirrender. Man muesste jetzt mal hingehen und die paar Eigenschaften fuer den Minkowski-Abstand nachpruefen, ob jetzt nun Metrik oder Pseudoskalarprodukt ist, aber ich bin grad zu faul.
Ein Skalarprodukt ist es aber nicht. Wir hatten das ganze mal im Grundstudium waehrend Theoretischer E-Dynamik. Danach habe ich das auch nie wieder gehoert.
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Man kann das auch Tischbein nennen, Hauptsache eindeutig. Es gibt nichts verwirrenderes als wenn zwei Leute Metrik sagen, aber was unterschiedliches meinen.
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Dann kennst du ja eh nur den flachen Raum, wo jeder Tangentialraum mit der Mannigfaltigkeit identisch ist (bis auf Isomorphie). Allgemein hat man gekrümmte Mannigfaltigkeiten (man mache sich dies am Beispiel der S^n klar) wo Tangentialräume wirklich tangential anliegen. Hier ist ganz klar, dass die Metrik nicht direkt Abstände zwischen zwei Punkten der Mannigfaltigkeit (bsp: Nord- und Südpol) misst, da die Metrik nur auf Vektorräumen, eben den Tangenitalräumen, definiert ist. Die Metrik stellt nur (im Riemannschen Fall) ein Skalarprodukt auf jedem Tangentialraum dar, im Allgemeinen abhängig vom Punkt an dem dieser anliegt. Deswegen ist es wenig sinnvoll nach so Dingen wie der Dreiecksungleichungen für Lorentzmetriken zu fragen.
Man kann gewisse Riemannsche Mannigfaltigkeit (und zwar genau die geodätischen vollständigen, also insbesondere alle kompakten randlosen Mfkt.) zu einem metrischen Raum erweitern indem man die Metrik definiert:
d(p,q) = inf{ L(alpha) | alpha stückweise glatte Kurve von p nach q}
wobei L(alpha) definiert ist als int(sqrt(g(d/dt alpha, d/dt alpha)) dt).
Hier gelten dann auch die gewohnten Eigenschaften wie die Dreiecksungleichung.
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Bashar schrieb:
BTW, deine Dreiecksungleichung kommt mir auch spanisch vor: Nimm ein a mit ||a||>0, dann ist ||-a|| > 0 (wegen der Symmetrie, oder gilt die etwa auch nicht?) und ||-a|| + ||a|| = ||-a+a|| = ||0|| = 0, Widerspruch.
Erwischt
. Ich habe die Bedingung vergessen, dass die Zeitrichtung für beide Vektoren gleich sein muss.Naja, ist (mathematisch) keine sehr tiefgehende Erkenntnis, aber physikalisch sind die Konsequenzen recht interessant:
http://www.iop.org/EJ/abstract/0143-0807/14/1/008Ich bezog mich bei der Kritik an der deutschen Wikipedia zwar eher auf die allgemeine Qualität (da steht einfach viel weniger drin als in der englischen), aber konkret angestoßen zu dieser Kritik, wurde ich durch den Artikel zu "Pseudometric space". Du hattest nämlich irgendwas zu Pseudometriken gefragt und dich über den Widerspruch zur deutschen Wikipedia gewundert. Den genannten Artikel gibt es übrigens nichtmal im deutschen.
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knivil schrieb:
Im Grunde bezeichnen die Physiker ja sowieso alles irgendwie anders als die Mathematiker. Ich finde "metrischer Tensor" noch verwirrender. Man muesste jetzt mal hingehen und die paar Eigenschaften fuer den Minkowski-Abstand nachpruefen, ob jetzt nun Metrik oder Pseudoskalarprodukt ist, aber ich bin grad zu faul.
Zumindest für ne riemannsche Mannigfaltigkeit http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Mannigfaltigkeit nimmt das entsprechende Teil (im Artikel heißt es g) zwei Elemente des Tagentialraums in einem Punkt und ordnet denen eine reelle Zahl vor. Für diese Elemente einen Abstand zu definieren würde nicht so viel Sinn machen. Und für die pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit gibt man ja nur noch die positive Definitheit davon auf. Insofern trifft die Intuition eines Skalarprodukts denke ich schon ganz gut.
