Erklärung gesucht: Sinn der Definition "- mal - = +"



  • Die Multiplikation natürlicher Zahlen ist so definiert (aus Wikipedia): Die Multiplikation natürlicher Zahlen entsteht durch das wiederholte Addieren (Zusammenzählen) des gleichen Summanden.

    Beispiel: 2*4 = 2+2+2+2 = 8. Wie kommt man dann dazu, dass das Produkt von 2 negativen Zahlen positiv ist? (-2)*(-4) = (-2)+(-2)+(-2)+(-2) != 8 ( = -8). Es umzudrehen und mehrfach zu substrahieren geht auch nicht: (-2)*(-4) = (-2)-(-2)-(-2)-(-2) != 8 ( = 6)



  • Scheint in Mode zu sein, bei Allem, was einem auffaellt oder merkwuerdig erscheint, die Sinnfrage zu stellen. Warum ist 5 + 4 = 9? Welchen Sinn hat 5? Welchen Sinn hat + ? Welchen Sinn hat diese Frage?



  • philosoraptor schrieb:

    (-2)*(-4) = (-2)+(-2)+(-2)+(-2)

    Nein, das wäre -2 * 4.



  • (-2) * (-4) = (-1*2) * (-1*4) = (-1)*(-1) * 2*4 = 2 * 4



  • Jan, du drehst dich im Kreis...
    Warum ist (-1)*(-1) dann gleich 1 - und warum ist 1 * x = x 😃

    P.S. Ich interpretiere eigentlich 2*4 immer als "zweimal die Zahl Vier addieren", also 4 + 4.



  • Ein etwas seltsamer Ansatz:
    Wie kommt man von 3*2 auf 4*2? - klar einfach noch einmal 2 addieren
    oder von 4*2 auf 3*2 ? -> einfach einmal 2 subtrahieren
    von 1*2 auf 0*2 -> 2 abziehen
    0*2 auf (-1) * 2 -> genause 2 subtrahieren

    d.h. (-4)*2 = 0 - 2 - 2 - 2 - 2 = -8
    Wenn man jetzt nicht 2 sonder (-2) nimmt:
    (-4) * (-2) = 0 - (-2) - (-2) - (-2) - (-2) = 8

    Dein "Fehler" liegt daran, dass du hier:

    (-2)*(-4) = (-2)+(-2)+(-2)+(-2)
    

    4-mal (-2) addierst und nicht minus 4 mal (-2)^^



  • knivil schrieb:

    Scheint in Mode zu sein, bei Allem, was einem auffaellt oder merkwuerdig erscheint, die Sinnfrage zu stellen. Warum ist 5 + 4 = 9? Welchen Sinn hat 5? Welchen Sinn hat + ? Welchen Sinn hat diese Frage?

    Welchen Sinn hat es, wenn ein gewisser Forenuser in 80% seiner Posts nicht zur Lösung einer Frage beiträgt, sondern nur die Frage selbst in Frage stellt?

    Manche Leute wollen Dinge verstehen und nicht nur hinnehmen.



  • philosoraptor schrieb:

    Die Multiplikation natürlicher Zahlen ist so definiert (aus Wikipedia): Die Multiplikation natürlicher Zahlen entsteht durch das wiederholte Addieren (Zusammenzählen) des gleichen Summanden.
    Beispiel: 2*4 = 2+2+2+2 = 8. Wie kommt man dann dazu, dass das Produkt von 2 negativen Zahlen positiv ist? (-2)*(-4) = (-2)+(-2)+(-2)+(-2) != 8 ( = -8).

    Ich denke, die Anzahl der Wiederholungen, in diesem Fall 4, kann nicht negativ sein, so daß aus: -2 * -4 einfach -2 * 4 * -1 gemacht wird, also: -8 * -1.



  • @ Problem:

    Es gilt nach den Axiomen der Ringtheorie (hier Ring der ganzen Zahlen, eine kommutativer Ring mit 1):

    (-1)*(-1) + (-1)
    = (-1)*(-1) + (-1)*1    [1 ist neutrales El. von (Z,*)]
    = (-1)*(-1+1)           [Distributivgesetz]
    = (-1)*0                [(Z,+) ist Gruppe mit neutralem El.0]             
    
    und 
    
    (-1)*0 = (-1)*(0+0) =(-1)*0 + (-1)*0 [wieder Distributivgesetz]
    => [auf beiden Seiten (-1)*0 subtrahieren] 
    => (-1)*0 = 0
    
    => (-1)*(-1) + (-1) = 0        
    => (-1)*(-1) ist additives Inverses von -1
    => (-1)*(-1) = -(-1)= 1 [denn 1+(-1)=0, also -(-1)=1]
    


  • Manche Leute wollen Dinge verstehen und nicht nur hinnehmen.

    Und manche Dinge sind Definitionssache. Klar kann man mit Gruppen und Koerper argumentieren, aber welchen Sinn hat das? 🙂 Da in naechster Konsequenz der Sinn der Koerper- und Gruppendefinition hinterfragt werden muss. Warum macht man das so? Man kann auch einfach sagen, dass das Vorzeichen (oder -1) sich wegkuerzt:

    -1 * -1 = 1/-1 * -1/1 = 1
    

    Aber wer wuerde in solch trivialen Sachen versuchen, Sinn zu suchen. Da ist man vielleicht mit einer Religion besser bedient, anstatt ihn in Mathematik zu suchen.

    ein gewisser Forenuser in 80% seiner Posts

    Hast du nachgezaehlt? Ansonsten ist der Wert blanke Unterstellung.



  • (-1)*(-1) > 0 ist in jedem angeordneten Koerper nunmal so. Das kann man beweisen (als Uebung an den geneigten Leser ueberlassen). Ist der Koerper nicht angeordnet, kann man schlecht von negativen und positiven Elementen sprechen.
    Die reellen Zahlen sind zB ein angeordneter Koerper, aber die Multiplikation ist aus offensichtlichen Gruenden nicht so definiert wie fuer natuerlich eZahlen, sondern durch Aequivalenzklassen ueber rationale, ganze und letztlich natuerliche Zahlen.
    Etwas aehnliches gilt vermutlich fuer Ringe, wenn man nur Z betrachten will.

    Noch Fragen?



  • Sollten diese -im Grunde nichts aussagenden- Sätze jetzt besonders schlau wirken?



  • Ich denke es wurde einfach festgelegt, dass der Minusoperator überladen ist.
    Er dient als Vorzeichen - wie auch das Pluszeichen -, negiert aber als Faktor das Ergebnis.

    Das muss aber so sein, wie sollte man sonst (-3)*(4) interpretieren?

    Oder?



  • DerBaer hats ja schon gesagt. (-2)*(-4) bedeutet dass du (-4) mal (-2) addierst. (-2)+(-2)+(-2)+(-2) ist aber 4 mal (-2) addiert. Wenn dus (-4) mal addieren willst bedeutet das dass du in die andre Richtung gehst. Überlegs dir vielleicht einfach mal auf der Zahlengerade da sieht man das sofort...



  • While(true){} schrieb:

    Ich denke es wurde einfach festgelegt, dass der Minusoperator überladen ist.

    Überladen? Du kennst also zwei Bedeutungen des Minus? Da bin ich ja mal gespannt 🙂


  • Mod

    Michael E. schrieb:

    While(true){} schrieb:

    Ich denke es wurde einfach festgelegt, dass der Minusoperator überladen ist.

    Überladen? Du kennst also zwei Bedeutungen des Minus? Da bin ich ja mal gespannt 🙂

    Er meint wohl, dass man - sowohl für die einstellige Funktion "additives Inverses" als auch für die zweistellige Funktion "Subtraktion" verwendet. Das sind zwei verschiedene Funktionen.



  • Ich denke, das ist einfach die Konvention, dass man die neutralen Elemente der Addition (0+(-1)=-1), wie z.B. auch bei der Multiplikation (1*4=4), formal weglassen kann, oder? Ich sehe da keine zwei verschiedenen Bedeutungen des "-".


  • Mod

    Walli schrieb:

    Ich denke, das ist einfach die Konvention, dass man die neutralen Elemente der Addition (0+(-1)=-1), wie z.B. auch bei der Multiplikation (1*4=4), formal weglassen kann, oder? Ich sehe da keine zwei verschiedenen Bedeutungen des "-".

    Nein, das ist eigentlich keine Konvention. Das einstellige und zweistellige Minus sind mit bisher immer als zwei verschiedene Funktionen begegnet, wenn ich mich richtig erinnere. Außerhalb von Gebieten wie der Modelltheorie bzw. Logik ist diese Unterscheidung aber nicht ganz so relevant, deswegen wird die vermutlich oft unter den Tisch gekehrt.



  • Die Unterscheidung gibts doch sogar in C++...



  • Christoph schrieb:

    Walli schrieb:

    Ich denke, das ist einfach die Konvention, dass man die neutralen Elemente der Addition (0+(-1)=-1), wie z.B. auch bei der Multiplikation (1*4=4), formal weglassen kann, oder? Ich sehe da keine zwei verschiedenen Bedeutungen des "-".

    Nein, das ist eigentlich keine Konvention. Das einstellige und zweistellige Minus sind mit bisher immer als zwei verschiedene Funktionen begegnet, wenn ich mich richtig erinnere.

    Ich weiß nicht genau, ob die "orthodoxe" Mathematik das einstellige "-" ausschließlich als Funktion bezeichnet. Aber meiner Ansicht nach, gehört es auch zu dem inversen Element selbst dazu, ist also nur eine praktische Schreibweise, das additiv Inverse von a (also -a) formal auszudrücken, so daß a+(-a)=0 ist. Ebenso könnte man festlegen, daß a+â=0. Oder nicht? 😕


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