Affinen Untervektorraum bestimmen



  • Ich soll den kleinsten affinen UVR des Z^3\3 bestimmen, der folgende Punkte
    enthält:

    (1; 0; 0)
    (2; 1; 0)
    (2; 0; 1)
    (0; 0; 2)
    (1; 1; 2)

    Wie kann man da exakt rangehen?
    Im Moment habe ich die Punkte mal aufgemalt und versucht eine Struktur zu erkennen.
    Leider ist das anscheinend nicht sehr effizient. Ich sehe zwar dass die ersten beiden Punkte und die letzten beiden 2 parallele Geraden bilden, die ich in eine Ebene packen könnte. Aber der dritte Punkt wäre dann nicht in der Ebene.
    Demnach müsste ich den gesamten VR hernehmen. Allein wegen der Aufgabenstellung vermute ich aber dass es besser geht.



  • Was ist " Z^3\"?



  • Sry hab mich vertan:

    R^3 Restklassen mod 3 sollte der betrachtete VR sein.

    Also alle Klassen des R^3 die mod 3 äquivalent sind



  • Gib mal die *vollständige* Aufgabenstellung in *Originalformulierung*, z.B. einen Link auf das Aufgabenblatt. Was "Also alle Klassen des R^3 die mod 3 äquivalent sind" kapiere ich nämlich nicht.



  • Das soll wohl Z33\mathbb{Z}_3^3 heißen. Macht anders nicht viel Sinn.



  • Hier geht ja Latex !

    R33\mathbb{R}^3_3 ist das richtige. Entschuldigt die Unklarheiten



  • Was ist R3\mathbb{R}_3?



  • Alle Klassen, die sich nur in einer Differenz von 3 Unterscheiden.

    zB [0.3] == [3.3] weil 3.3 -3 = 0.3



  • Dann ist R3\mathbb{R}_3 aber kein Körper.


  • Mod

    Das ist dann aber kein Vektorraum mehr, weil R3\mathbb{R}_3 dann kein Körper ist.

    edit: zu langsam



  • (Weil es nicht nullteilerfrei ist: 2 * 1,5 = 3 \neq 0.)



  • äh, (Weil es nicht nullteilerfrei ist: 2 * 1,5 = 3 = 0, aber 2 \neq 0 \neq 1,5)



  • Warum das kein Körper ist
    sehe ich nicht auf Anhieb, kanst du das erklären?

    Aber hier ist die Aufgabenstellung:

    Seien die folgenden Vektoren aus R33\mathbb{R}^3_3 ( \widehat{=} Restklassen modulo 3) gegeben:

    v_1=(1,0,0),v_2=(2,1,0),v_3=(2,0,1),v_4=(0,0,2),v5=(1,1,2)v\_1 = (1,0,0), v\_2 = (2,1,0), v\_3 = (2,0,1), v\_4 = (0,0,2), v_5 = (1,1,2)

    Bestimmen Sie den kleinsten affinen Unterraum, der diese Punkte enthält.



  • Darf ich nochmal Z33\mathbb{Z}_3^3 in den Raum werfen, oder zumindest erfahren, wieso diese Möglichkeit ignoriert wird?

    edit 1:
    R\mathbb{R} mod 3 ergibt IMHO überhaupt keinen Sinn (zumindest algebraisch), das ist nichtmal ein Ring. Mal das Beispiel vom Kenner: 2*1,5=0, aber (2+3)*1,5 = 5*1,5 = 7,5 = 1,5.

    edit 2:
    Ja, natürlich (Z/3Z)3(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3, die obere Schreibweise ist aber auch teils gebräuchlich, so dass ich angenommen hatte, dass die hier verwendet wurde.



  • Bashar meint wohl (Z/3Z)3(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3.



  • Ui, ich hab lang gebraucht, so viele Antworten.

    Also danke für die Erklärung des Nicht-Körpers. Ich denke ich hab auch slebst schon ein Beispiel gefunden, deswegen hab ich so lang gebraucht^^

    @Basher:
    Die Originalaufgabenstellung steht nun hier.

    Ich glaube, dass dem Blatt nur ein Fehler unterlaufen ist und
    tatsächlich Z33\mathbb{Z}^3_3 gemeint ist.

    Da ich dann aber immer noch nicht in der Lage bin, die Aufgabe zu lösen, wäre es nett, wenn man ab jetzt Z_3 als zugrundeliegenden Körper betrachtet.

    Ich dachte bisher stets daran, die Vektroen in eine Matrix zu schreiben und deren Rang zu bestimmen, würde das mir weiterhelfen?



  • Ich würde so vorgehen: Wenn nach einem UVR (nicht einem affinen Unterraum) gefragt wäre, könnte man die Vektoren in eine Matrix packen und Gauß draufanwenden.

    Hier ist aber nach einem affinen Unterraum gefragt. Also nimm dir einen deiner Vektoren und subtrahiere ihn von allen Vektoren. Dann packst du diese geänderten Vektoren in eine Matrix und bestimmst davon einen UVR, der alle enthält. Danach addierst du den abgezogenen Vektor wieder zu allen dazu und hast deinen affinen Unterraum.

    Das benutzt folgende Tatsache: Ein affiner Unterraum ist ein UVR genau dann, wenn er den 0-Vektor enthält.



  • Denn affine Unterräume sind gerade Translate von UVRen.



  • Bashar schrieb:

    Darf ich nochmal Z33\mathbb{Z}_3^3 in den Raum werfen, oder zumindest erfahren, wieso diese Möglichkeit ignoriert wird?

    edit 1:
    R\mathbb{R} mod 3 ergibt IMHO überhaupt keinen Sinn (zumindest algebraisch), das ist nichtmal ein Ring. Mal das Beispiel vom Kenner: 2*1,5=0, aber (2+3)*1,5 = 5*1,5 = 7,5 = 1,5.

    R/3R\mathbb{R}/3\mathbb{R} ist immerhin noch eine (topologische) abelsche Gruppe, isomorph zu S1S^1.



  • So komme ich auf jeden Fall an einen affinen UVR ran, aber wie mache ich diesen minimal?

    Intuitiv würde ich ja sagen, ich ziehe den v_3 ab, weil der allein steht, aber ich bin da nicht sicher und kann meine Intuition auch nicht erklären


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