Mathemagie: Quantenmechanische Herleitung für Pi



  • Derzeit macht in allen möglichen populärwissenschaftlichen Zeitungen eine vermeindlich erstaunliche Entdeckung die Runde (das Paper hat nur knapp 3 Seiten).
    Es geht darum, dass man durch eine Näherung der Energieniveaus im H-Atom auf die Produktformel von π\pi von Wallis stößt, wenn man den Grenzwert unendlich hoher Nebenquantenzahlen betrachtet. Daraus wird nun die Konsequenz gezogen, dass es da irgendeinen mysteriösen Zusammenhang zwischen Natur, genauer Quantenmechanik und Mathematik gibt.

    Ich verstehe diese ganze Hysterie nicht. Seit wann ist es irgendwie erstaunlich, dass in der Physik, die nichts weiter als angewandte Mathematik ist, gewisse Zahlen vorkommen, die von idealisierten Objekten wie Kreisen stammen und eben Gegenstand idealisierter Modelle waren? Bzw. warum wundert man sich, dass Mathe dabei rauskommt, wenn man Mathe benutzt?

    Beispiel: Man nehme die lineare, homogene Differentialgleichung f(x)=f(x)f'(x)=f(x) mit Anfangswert f(0)=1f(0)=1. Wertet man die Lösung bei x=1x=1 aus, erhält man f(1)=ef(1)=\mathrm e, was viele ja auch als ganz besondere Zahl sehen. Nun hat diese Dgl. unendliche viele Anwendungen in der Physik, z.B. alle möglichen Zerfallsprozesse. Da wundert man sich doch auch nicht über das Wesen der Exponentialfunktion oder dass die Natur auch nur irgendwie einen mysteriösen Zusammenhang mit e\mathrm e hat. Die Benutzung der DGL ist halt eine ideale Vorstellung, die real nicht stimmt, wenn man gaaaaanz genau misst.

    Habe ich da in der Argumentation irgendwas falsch verstanden? An einer Stelle wird da halt physikalisch argumentiert, dass der Erwartungswert der quadratischen Abweichung im Grenzwert großer Drehimpulse verschwindet und damit der Grenzwert begründet - man könnte das aber genauso gut lassen und den Grenzwert auch rein mathematisch ausrechnen.

    Es gab schon mal so eine Meldung zum Zusammenhang zwischen QM und Zahlentheorie: es hatte was mit einem Hamilton-Operator zu tun, dessen Eigenwerte Primzahlen waren - sodass man quasi einen natürlichen Primzahl-Generator hat, mit dem man die zwar nicht berechnen, aber messen kann. Das ist in der Tat verblüffend, da es wirklich was mit Natur zu tun hat (Messungen). Aber das hier? Imho nur eine mathematische Spielerei. Wie seht ihr das?



  • 1. In welchen "populärwissenschaftlichen Zeitungen" wird das denn thematisiert?

    2. Lies diese Zeitungen nicht mehr.

    3. Ich finde alleine schon die Publikation dieses Papers in einem auf den ersten Blick serioesen wissenschaftlichen Journal zweifelhaft. Ich frage mich, ob es da einen ernsthaften Reviewprozess gab.



  • Gregor schrieb:

    1. In welchen "populärwissenschaftlichen Zeitungen" wird das denn thematisiert?

    Man muss im Prinzip nur "Wallis pi quantum" googeln. Nicht nur populärwissenschaftliche Magizine, sondern z.B. auf Forbes sind dabei:

    http://phys.org/news/2015-11-derivation-pi-links-quantum-physics.html
    http://www.sciencedaily.com/releases/2015/11/151110115704.htm
    http://www.forbes.com/sites/kevinknudson/2015/11/10/everything-you-ever-wanted-to-know-about-pi-part-2-a-new-proof-of-the-wallis-formula-via-physics/
    http://www.scinexx.de/wissen-aktuell-19511-2015-11-11.html

    Gregor schrieb:

    2. Lies diese Zeitungen nicht mehr.

    Mache ich sowieso nicht. Ich habe das nur mal gegoogelt auf meiner Suche nach Reaktionen und war über die Resonanz sehr überrascht.

    Gregor schrieb:

    3. Ich finde alleine schon die Publikation dieses Papers in einem auf den ersten Blick serioesen wissenschaftlichen Journal zweifelhaft. Ich frage mich, ob es da einen ernsthaften Reviewprozess gab.

    Ich frage mich, ob das auch nur überhaupt mal von jemandem überflogen wurde. Papers von irgendwelchen Crackpots kennt man ja, aber das Paper ist von doch zwei relativ gestandenen Wissenschaftlern. Dass das über Arxiv hinausgekommen ist, ist durchaus interessant.



  • Jodocus schrieb:

    Ich frage mich, ob das auch nur überhaupt mal von jemandem überflogen wurde.

    Hmmm...
    http://www.rochester.edu/newscenter/discovery-of-classic-pi-formula-a-cunning-piece-of-magic-128002/

    the Journal of Mathematical Physics accepted the paper in less than 24 hours.

    In der kurzen Zeit offensichtlich nicht.





  • Jodocus schrieb:

    Ich verstehe diese ganze Hysterie nicht. Seit wann ist es irgendwie erstaunlich, dass in der Physik, die nichts weiter als angewandte Mathematik ist, gewisse Zahlen vorkommen, die von idealisierten Objekten wie Kreisen stammen und eben Gegenstand idealisierter Modelle waren?

    Weil so unglaublich viele Leute so unglaublich dumm sind?



  • hustbaer schrieb:

    Jodocus schrieb:

    Ich verstehe diese ganze Hysterie nicht. Seit wann ist es irgendwie erstaunlich, dass in der Physik, die nichts weiter als angewandte Mathematik ist, gewisse Zahlen vorkommen, die von idealisierten Objekten wie Kreisen stammen und eben Gegenstand idealisierter Modelle waren?

    Weil so unglaublich viele Leute so unglaublich dumm sind?

    Ich weiß nicht, ich komme mir selbst bei weitem nicht schlau genug vor, Leute, die ich nicht kenne, als unglaublich dumm zu bezeichnen. Aber was rege ich mich auf, eigentlich kann ich mich freuen, da es heutzutage wohl schön einfach ist, ein paar Paper durch zu kriegen.



  • Jodocus schrieb:

    Aber was rege ich mich auf, eigentlich kann ich mich freuen, da es heutzutage wohl schön einfach ist, ein paar Paper durch zu kriegen.

    Das hängt vom Journal ab. Es gibt Journale, bei denen Du für die Veröffentlichung zahlst. Bei denen wird es wohl nicht so schwer sein.



  • Gregor schrieb:

    Jodocus schrieb:

    Aber was rege ich mich auf, eigentlich kann ich mich freuen, da es heutzutage wohl schön einfach ist, ein paar Paper durch zu kriegen.

    Das hängt vom Journal ab. Es gibt Journale, bei denen Du für die Veröffentlichung zahlst. Bei denen wird es wohl nicht so schwer sein.

    Open access?! Das kann man so jednfalls nicht stehen lassen.



  • Jester schrieb:

    Gregor schrieb:

    Jodocus schrieb:

    Aber was rege ich mich auf, eigentlich kann ich mich freuen, da es heutzutage wohl schön einfach ist, ein paar Paper durch zu kriegen.

    Das hängt vom Journal ab. Es gibt Journale, bei denen Du für die Veröffentlichung zahlst. Bei denen wird es wohl nicht so schwer sein.

    Open access?! Das kann man so jednfalls nicht stehen lassen.

    Ja, sind wohl meistens Open Access Journale. Aus meiner Sicht ist dieses Geschäftsmodell, wegen dem Journale ein Interesse kriegen, möglichst viele Paper zu veröffentlichen, die Kehrseite des Open Access Modells. Es ist ein Unterschied, ob die Verlage Ihr Geld dadurch kriegen, dass ihr Journal gelesen wird oder dadurch, dass in dem Journal etwas veröffentlicht wird. ...und es gibt auch jenseits dieser Journale Möglichkeiten, die Manuskripte öffentlich zu machen. Zum Beispiel erlauben es die meisten klassischen Journale, dass man Preprints auf arxiv.org oder auf der eigenen Homepage zur Verfügung stellt.

    Ich persönlich halte das Aufkommen von Open Access Journalen zumindest nicht für uneingeschränkt gut. Das Paper, um das es hier geht, ist ja offensichtlich auch Open Access. Das überrascht mich nicht wirklich.



  • Sorry, aber das ist jetzt reichlich naiv. Die Publisher kriegen ihr Geld nicht dafür, dass die Artikel dort gelesen werden, sie kriegen das Geld dafür, dass Einrichtungen (Bibliotheken) die wichtigsten Journale abonnieren wollen, und sie ihnen dafür aber nur riesige überteuerte Bundles verkaufen, die völlig irrelevante Journale zu Mondpreisen enthalten. Das hat mit wissenschaftlicher Qualitätssicherung wirklich überhaupt nichts zu tun. Genau genommen entkräftest Du das Argument ja auch noch dadurch, dass Du sagst man kann das Paper auch noch bei arXiv hochladen.
    Letztlich steht doch für die inhaltliche Qualität das Editorial Board eines Journals gerade, deren Namen und ihr Versprechen eine ernsthafte Begutachtung durchzuführen sind der Grundpfeiler für ein hochklassiges Journal. Das ist völlig orthogonal zur Frage der Finanzierung.
    Entscheidend ist für mich eher die Frage nach der Höhe der Publikationskosten und der Frequenz des Erscheinens. Imo ist es ohne weiteres möglich mit relativ geringen Kosten die Papiere dauerhaft zu archivieren. Tatsächlich kenne ich mehrere gute OpenAccess Zeitschriften, die keine Publikationsgebühr erheben, und die Sachen einfach online stellen.
    Wenn also eine Veröffentlichung mehrere Hundert oder gar Tausende Euro kostet, dann liegt der Verdacht nahe, dass da noch was anderes finanziert werden soll, und dann liegt auch ein falscher Anreiz vor. Das liegt aber nicht grundlegend am OpenAccess und der Tatsache, dass man da halt für die Publikation zahlt und nicht für den Zugriff.
    Leuten, die lieber Geld zahlen, damit Quatsch veröffentlicht wird, statt vernünftig zu arbeiten und in einem hochwertigen Journal zu veröffentlichen ist nämlich danach auch egal ob das OpenAccess ist -- sie können ja immer noch eine Version bei arXiv hochladen. Genau genommen geht es denen ja aber auch nicht darum, ob es zugreifbar ist, sondern (vermutlich) um die Länge der Publikationsliste öä.



  • Jodocus schrieb:

    hustbaer schrieb:

    Jodocus schrieb:

    Ich verstehe diese ganze Hysterie nicht. Seit wann ist es irgendwie erstaunlich, dass in der Physik, die nichts weiter als angewandte Mathematik ist, gewisse Zahlen vorkommen, die von idealisierten Objekten wie Kreisen stammen und eben Gegenstand idealisierter Modelle waren?

    Weil so unglaublich viele Leute so unglaublich dumm sind?

    Ich weiß nicht, ich komme mir selbst bei weitem nicht schlau genug vor, Leute, die ich nicht kenne, als unglaublich dumm zu bezeichnen.

    Naja...
    Nenn es wie du willst.

    Ist halt einfach eine Beobachtung dass es verdammt viele Leute gibt die ihre Fähigkeiten immens überschätzen, und daher der Meinung sind Dinge beurteilen zu können die sie eben nicht beurteilen können.
    Das muss nichtmal heissen dass diese Personen allgemein sehr unwissend wären oder wenig intelligent. Aber sie sind zumindsest in bestimmten Bereichen nicht oder kaum fähig zu erkennen wo ihre Grenzen sind.

    Gut, vielleicht ist "dumm" da wirklich etwas zu sehr abgekürzt bzw. allgemein ein unpassendes Wort. Gegenvorschlag? 🙂



  • hustbaer schrieb:

    Naja...
    Nenn es wie du willst.

    Ist halt einfach eine Beobachtung dass es verdammt viele Leute gibt die ihre Fähigkeiten immens überschätzen, und daher der Meinung sind Dinge beurteilen zu können die sie eben nicht beurteilen können.
    Das muss nichtmal heissen dass diese Personen allgemein sehr unwissend wären oder wenig intelligent. Aber sie sind zumindsest in bestimmten Bereichen nicht oder kaum fähig zu erkennen wo ihre Grenzen sind.

    Gut, vielleicht ist "dumm" da wirklich etwas zu sehr abgekürzt bzw. allgemein ein unpassendes Wort. Gegenvorschlag? 🙂

    Die Eigenschaften, die du hier erläuterst, würde ich vielleicht mit Überheblichkeit und Selbstgefälligkeit bezeichnen. Aber unabh. von den Begriffen sehe ich das nicht so. Die Leute von dem Paper, ein Physiker und eine Mathematikerin, haben ja nirgendwo ihre Kompetenzen überschritten. Ich würde ihre Ansicht eher als naiv bezeichnen, sofern ich ihren Standpunkt richtig verstanden habe.



  • Also anscheinend hab' ich die Sache anhand deiner Beschreibung etwas falsch eingeschätzt.

    z.B. das Zitat
    http://www.scinexx.de/wissen-aktuell-19511-2015-11-11.html

    "Mich hat überrascht, dass die Formel in einer so natürlichen Art bei den Berechnungen auftauchte, obwohl bei der Bestimmung der Energiezustände gar keine Kreise involviert waren. Wir haben gar nicht nach Pi gesucht, es fiel uns einfach in den Schoß."

    Finde ich doch ganz OK.
    Darf er sich doch ruhig drüber wundern dass an einer Stelle wo er Pi nicht vermutet hatte auf einma Pi auftaucht. Ist zwar nicht so dass das nicht öfter mal passiert, aber das heisst ja nicht dass man sich nicht maleben wundern + freuen darf.
    Und dann noch dass sie da ne Formel für Pi gefunden haben die anscheinend (wenn ich das richtig verstanden habe) in der Physik bisher noch nirgends aufgetaucht ist.

    Dass sie da irgendwelche mysteriösen Zusammenhänge reininterpretieren ... hm. Weiss nicht, für mich klingt das nicht so. Hab aber auch lange nicht alle von dir verlinkten Artikel zu dem Thema gelesen. Kannst du dazu ein Beispiel (Zitat) liefern?



  • hustbaer schrieb:

    Dass sie da irgendwelche mysteriösen Zusammenhänge reininterpretieren ... hm. Weiss nicht, für mich klingt das nicht so. Hab aber auch lange nicht alle von dir verlinkten Artikel zu dem Thema gelesen. Kannst du dazu ein Beispiel (Zitat) liefern?

    Zitat aus dem Paper:

    The existence of such a derivation indicates that there are striking connections between well-established physics and pure mathematics9 that are remarkably beautiful yet still to be discovered.



  • Hab ich auch gelesen. Für mich klingt das nicht so als würden sie sagen dass hier etwas mysteriös wäre.



  • hustbaer schrieb:

    Hab ich auch gelesen. Für mich klingt das nicht so als würden sie sagen dass hier etwas mysteriös wäre.

    Mit mysteriös meine ich im Prinzip genau die Aussage, dass da noch was sein soll, was noch nicht entdeckt wurde, irgendein erstaunlicher Zusammenhang. Nur finde die Tatsache, dass es da eben ein pi auftaucht genau so erstaunlich, wie mein Beispiel im ersten Posting, wo ein e auftaucht, wo man es vielleicht nicht erwartet, wenn man es noch nie gesehen hat. Anderes Beispiel: so oft in der Physik taucht die geometrische Reihe auf (Bose-Einstein-Statistik, Virialkoeffizienten u.v.m.). Das verwundert doch auch niemanden oder weist auch nur auf irgendwas Bedeutendes hin, außer, dass die Modelle schön einfach waren, sodass dieser Klassiker von Reihe auftaucht.

    Und weil es eigentlich gar nicht so überraschend ist, war ich so erstaunt, dass es so eine m.E. eher irrelevante Erkenntnis in ein Journal schafft und dass so viele Physiker diese Ansicht scheinbar teilen, dass da irgendwas sei, was ich nicht sehe.



  • OK. Was das "angemessene" Mass an Erstaunen dafür ist, dass an genau der Stelle genau die Formel für Pi auftaucht, das kann ich wirklich nicht beurteilen.

    Aber eine Überlegung dazu: aus meiner Sicht (=Laie, wenn es nicht gerade um Softwareentwicklung geht), wundere ich mich bei vielen Dingen nicht. Was aber nicht heisst dass sich der Experte nicht wundern kann. Umgekehrt wundere ich mich bei manchen Dingen die mein Fachbebiet betreffen, wo sich Laien auf eben diesem Gebiet nicht wundern.
    Worauf ich hinaus will: kann es sein dass du vielleicht zu wenig tief in der speziellen Materie drinnen bist um die Verwunderung verstehen zu können?

    Davon abgesehen, nochmal um das klarzustellen: Ich dachte wirklich erst es geht um etwas was wiedermal von irgendwelchen Journalisten aufgebauscht wurde, die einfach zu wenig davon verstehen um einschätzen zu können wie bemerkenswert oder eben wenig bemerkenswert etwas eigentlich ist. Was ja durchaus "hin und wieder" vorkommen soll.
    Und da das wohl nicht so ist, ist meine ursprüngliche "Einschätzung" wohl auch nicht angebracht 🙂



  • Aus meiner Sicht sieht das Paper reichlich "konstruiert" aus. Letztendlich konstruieren die sich dort eine Testwellenfunktion, die ein unphysikalisches Radialverhalten hat. Dann betrachten sie das Verhältnis zwischen dem Erwartungswert des Hamiltonoperators für diese Testfunktion und der eigentlich korrekten Energie (Im Rahmen der dort genutzten Näherung, dass sich das System durch die Schrödingergleichung beschreiben lässt (*)). Für den Grenzfall sehr hoher Drehimpulsquantenzahlen ist dieses Verhältnis 1. Ok. Das ist intuitiv vermutlich recht leicht nachvollziehbar: Für wachsende Drehimpulsquantenzahlen müssen sich beide Energien von unten der 0 annähern, sonst hätte man plötzlich keinen gebundenen Zustand mehr. Zudem wird die radiale Abhängigkeit der Testfunktion dabei immer mehr durch den Term r^l dominiert, den sowohl die richtige Lösung, als auch die Testfunktion gemeinsam haben. Sie kriegen also durch diese Grenzfallbetrachtung eine Formel, bei der auf der linken Seite eine 1 steht und rechts irgendein Ausdruck. Das können sie dann so umformen, dass diese Formel für Pi dabei herauskommt. Ich würde aber vermuten, dass sie mit anderen (auch unphysikalischen) Testfunktionen auch andere Ausdrücke auf der rechten Seite erzeugen können und die 1 auf der linken Seite halten können. ...und dann können sie das auch umformen, um eine Formel für irgendeine andere Zahl zu erhalten.

    Mit anderen Worten: Das Paper hat IMHO weniger mit Physik zu tun als mit der Wahl der passenden unphysikalischen Testfunktion.

    (*) Für sehr hohe Drehimpulsquantenzahlen ist vielleicht davon auszugehen, dass die Spin-Bahn-Wechselwirkung einen wesentlichen Beitrag zur Energie liefert. Das ist ein relativistischer Beitrag, der in der Beschreibung durch die Schrödingergleichung nicht enthalten ist.



  • hustbaer schrieb:

    Worauf ich hinaus will: kann es sein dass du vielleicht zu wenig tief in der speziellen Materie drinnen bist um die Verwunderung verstehen zu können?

    Nein, ich bin angehender Physiker. Die Inhalte des Papers kann jeder verstehen, der die Grundvorlesung Quantenmechanik gehört hat. Deswegen kommt es mir so merkwürdig vor, weil der Schluss des Papers auf mich wie einer wirkt, der eben gerade noch nicht so viel mit Physik zu tun hatte. Als hätte es eben ein Zweitsemestler beim Hausaufgabenlösen bemerkt. Aber ein älterer Physik-Professor?

    @ Gregor: Genau so meine ich das. Man kann sich durch die Wahl eines Modells (Testfunktion, Hamilton-Operator, irgendeine DGL) jede beliebige Zahl konstruieren.


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