Integral berechnen in C++

Hiho
Wenn ich von einer Funktion das bestimmte Integral in einem Intervall [a,b] berechnen will, dann kann ich ja die Stammfunktion von Hand bestimmen, im Programm-Code eingeben und dann mit der Formel F(b)-F(a) berechnen. Wenn ich nun aber ein Integral habe, von dem ich keine "schöne" Stammfunktion angeben kann, wie berechne ich das dann? Zum Beispiel dieses hier: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c5da35bc1ecbcd1d96dd35670da649636394d4
Bin ich hier gezwungen die Riemann-Summe zu verwenden? Das möchte ich eigentlich nicht tun, weil das langsam und ungenau ist.
Danke im Voraus

Hi!

Es kommt ganz drauf an. Für eindimensionale Integrale kannst du z.B. die Trapez- oder Simpsonregel benutzen (die Error-Bounds sind bekannt). Wenn du mehrdimensionale Integrale berechnen möchtest, sind u.U. Monte-Carlo-Integrationen (z.B. Importance Sampling) besser geeignet.

happystudent

Wenn du an der Anwendung interessiert bist und nicht daran den numerischen Solver selbst zu bauen, würde ich odeint aus boost nehmen.

Zum Beispiel so:

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <boost\numeric\odeint.hpp>

using namespace boost::numeric::odeint;

double Li(double x)
{
	auto f = [](double const &, double &dxdt, double t)
	{
		dxdt = 1.0 / std::log(t);
	};

	double result = 0;
	auto stepper = make_controlled(1.0e-12, 1.0e-12, runge_kutta_dopri5<double>());
	integrate_adaptive(stepper, f, result, 2.0, x, 1.0e-12);

	return result;
}

int main()
{
	for (double x = 2; x < 10; x += 1)
	{
		std::cout << "Li(" << x << ") = " << Li(x) << "\n";
	}
}

Ausgabe:

Li(2) = 0
Li(3) = 1.11842
Li(4) = 1.92242
Li(5) = 2.58942
Li(6) = 3.17706
Li(7) = 3.71189
Li(8) = 4.20855
Li(9) = 4.67607