Was bedeutet das hier?



  • Hallo zusammen, da Deutsch nicht meine Muttersprache ist, habe ich momentan Schwierigkeiten, um zu verstehen, was ein Teil einer Aufgabe bedeutet. Der Satz ist:

    "Solange der Funktionswert am Mittelpunkt des Intervalls um ein vorgegebenes Epsilon ε vom Durchschnitt der Funktionswerte am Rand abweicht, soll die Intervall-Breite halbiert werden."

    Meine Idee: das Epsilon wird in jedem Interval betrachtet und wenn der Mittelpunkt eines Intervalles größer als das Epsilon, muss das Interval halbiert werden. Aber wo es steht "...Durchschnitt der Funktionswerte am Rand..." verwirrt mich.

    In Kontext:

    Eine zweite Art das Integral zu berechnen ist das Summieren von Trapezen. Jedes Trapez ist durch sein Intervall, sowie die Funktionswerte an den Intervall-Grenzen bestimmt. Die Breite der Intervalle soll durch ein adaptives Verfahren so gewählt werden. Das Verfahren soll wie folgt implementiert werden:

    • Die maximale Intervall-Breite eines Trapezes soll die halbe Breite des zu berechnenden Integral sein.
    Solange der Funktionswert am Mittelpunkt des Intervalls um ein vorgegebenes Epsilon ε vom Durchschnitt der Funktionswerte am Rand abweicht, soll die Intervall-Breite halbiert werden.
    • Ansonsten sollen die Flächen der beiden entstandenen Trapeze (linke Grenze bis Mitte und Mitte bis rechte Grenze) zum Integral hinzu addiert werden.
    • Dieses Vorgehen soll solange wiederholt werden bis der gesamte Bereich des Integrals abgedeckt ist.
    Bestimmen Sie außerdem die Anzahl der Funktionsauswertungen, die Sie mittels dieses Verfahrens benötigen um eine Schätzung des Integrals von f auf dem Intervall [−4, 4] zu erhalten.
    Geben Sie für diese Methoden den geschätzten Wert sowie den relativen Fehler zur analytischen Lösung des Integrals für ε = 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001 mit Hilfe einer äußeren Schleife aus. Geben Sie außerdem, die Anzahl der Funktionsauswertungen aus.

    Foto von der Aufgabe: https://imgur.com/a/HiTIe

    Danke im Voraus!



  • cplusss schrieb:

    Meine Idee: das Epsilon wird in jedem Interval betrachtet und wenn der Mittelpunkt eines Intervalles größer als das Epsilon, muss das Interval halbiert werden. Aber wo es steht "...Durchschnitt der Funktionswerte am Rand..." verwirrt mich.

    Hallo,

    das macht doch keinen Sinn. Das Epsilon gibst du vor (einmal), je nachdem wie 'genau' es werden soll.
    Bei zB f(x)=x kannst du für 'linke Intervallgrenze>eps' das Intervall bis zum erbrechen halbieren - f(x) wird immer grösser sein als eps.

    Mit den Funktionswerten am Rand hingegen passt das doch schön; z.B eps = 1/2 und Anfangsintervall [0,1]:

    f(1) - f(0) = 1 > eps:
    f(1) - f(1/2) = 1/2 <= eps und f(1/2) - f(0) = 1/2 <= eps
    Passt für unser eps, können die Trapeze nehmen.



  • Ah okay ja jetzt verstehe ich.

    Ich habe das jetzt versucht, aber ich muss noch fragen, was würde passieren wenn nach dem zweiten Mal, der Abstand noch größer ist als das Epsilon?

    Es ist nicht da oben im ersten Beitrag aber ich betrachte die erste Funktion von den Werten zwischen x \in [0,2]. Die Funktion ist cos((πx)/2)+3cos((\pi*x)/2)+3.

    #include<iostream>
    #include<cmath>
    #include <math.h>
    using namespace std;
    int main()
    {
    float integral_sum = 0;
    float eps = 0.1;
    if (x<=-2)
            float a=0;b=2;
            if (abs(cos((M_PI*a)/2)-cos((M_PI*b)/2))< eps)
            integral+=(b-a)*((f(x)+f(y)/2);
            else
            c = (b+a)/2
    

    Es ist ein bisschen durcheinander im Kopf gerade, weil es so viele Sachen, die ich betrachten muss und ich bin mir nicht sicher, wie alles so klappen sollen. Z.B. Wie kann ich dann die x,a,b Werte ändern? Wieso brauche ich x überhaupt (vielleicht brauche ich es nicht). Ich bitte ein bisschen Hilfe.



  • cplusss schrieb:

    Ich habe das jetzt versucht, aber ich muss noch fragen, was würde passieren wenn nach dem zweiten Mal, der Abstand noch größer ist als das Epsilon?

    Dann musst du nochmal halbieren und dann eventuell nochmal und dann eventuell nochmal...
    Offenbar brauchst du eine Art Schleife.
    Hübscher und vermutlich auch gewünscht, ist eine rekursive Funktion, die das Integral berechnet.



  • Okay jetzt habe ich es. Vielen Dank für die Hilfe.


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